Question

已知：如图，矩形ABCD中，CD=2，AD=3，以C点为圆心，作一个动圆，与线段AD交于点P（P和A、D不重合），过P作⊙C的切线交线段AB于F点．
（1）求证：△CDP∽△PAF；
（2）设DP=x，AF=y，求y关于x的函数关系式，及自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的点P，使△APF沿PF翻折后，点A落在BC上，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵过P作⊙C的切线交线段AB于F点，
∴CP⊥FP，
∴∠1+∠2=90°，
∵在矩形ABCD中，
∴∠D=∠A=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△CDP∽△PAF；

（2）解：∵△CDP∽△PAF，
∴=，
∵DP=x，AF=y，
∴=，
∴y=-x²+x（0＜x＜3），


（3）证明：设△AFP下翻后落在BC边上的点为Q，
∵△AFP≌△QFP，
∴QF=AF=y，∠QPF=∠APF． 
由PF是圆的切线可知：∠QPF+∠DPC=90°，∠QPF+∠QPC=90°．
∴∠QPC=∠DPC．
又∵∠DPC=∠PCQ，
∴△QPC为等腰三角形，
∴QC=QP=AP=3-x，则BQ=x．
在△FBQ中，FB=2-y，BQ=x，FQ=y 
x²+（2-y）²=y²整理得：x²-4y+4=0，
由y=-x²+x得3x²-6x+4=0 因为（-6）²-4×3×4＜0，
所以此方程无实根，
所以这样的点就不存在．
分析：（1）利用切线的性质得出∠1+∠2=90°，进而利用矩形的性质求得出∠2=∠3，进而得出△CDP∽△PAF；
（2）利用△CDP∽△PAF，得出=，进而得出y与x之间的函数关系；
（3）设△AFP下翻后落在BC边上的点为Q，利用已知首先判定△QPC为等腰三角形，再利用QC=QP=AP=3-x，利用勾股定理求出关于x的一元二次方程进而得出答案．
点评：此题主要考查了切线的性质以及勾股定理和相似三角形的性质和判定等知识，利用反证法得出A点不在BC上是解题关键．