如图1.直线l1:y=2x与直线l2:y=-3x+6相交于点A.直线l2与x轴交于点B.平行于x轴的直线y=n分别交直线l1.直线l2于P.Q两点(1)点A的坐标为(65.125)(65.125),(2)如图1.若点P在线段AO上.在x轴上是否存在一点H.使得△PQH为等腰直角三角形.若存在.求出点H的坐标,若不存在.说明理由,(3)如图2．若以点P为直角顶点.向下作等腰直角△PQF.设� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图1，直线l₁：y=2x与直线l₂：y=-3x+6相交于点A，直线l₂与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n分别交直线l₁、直线l₂于P、Q两点（点P在Q的左侧）
（1）点A的坐标为

（

，

）

（

，

）

；
（2）如图1，若点P在线段AO上，在x轴上是否存在一点H，使得△PQH为等腰直角三角形，若存在，求出点H的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2．若以点P为直角顶点，向下作等腰直角△PQF，设△PQF与△AOB重叠部分的面积为S，求S与n的函数关系式；并注明n的取值范围．

分析：（1）利用两直线相交的性质，使两式相等即可得出答案；
（2）首先表示出PQ的长度，进而得出当PH=HQ且∠PHQ=90°时以及当PH=PQ时△PQH为等腰直角三角形，分别求出即可；
（3）分别根据当

≤n＜

时以及当0≤n＜

时表示出△PQF与△AOB重叠部分的面积即可．

解答：

解：（1）∵直线l₁：y=2x与直线l₂：y=-3x+6相交于点A，
∴2x=-3x+6，
解得：x=

，
∴y=

，
∴点A的坐标为（

，

）；

（2）令y=n，则n=2x，
∴x=

n，
∴点P（

n，n），
n=-3x+6，
∴x=2-

n，
∴点Q（2-

n，n），
∴PQ=2-

n=2-

n，
作PH⊥x轴于H，如图1．当PH=PQ时△PQH为等腰直角三角形，
∴2-

n=n，
n=

，

，
∴H₁（

，0），
作QH⊥x轴于H，如图（备用图），当QH=PQ时△PQH为等腰直角三角形，
同理可得n=

，
∴H₂（

，0），
当PH=HQ且∠PHQ=90°时，△PQH为等腰直角三角形HG⊥PQ，可得PQ=2HG，
∴2-

n=2n，n=

，

，2-

，

(

，
∴H₃（

，0），
∴H点的坐标为（

，0），（

，0）；

（3）当

≤n＜

时，
∴S=

PQ2=

(2-

n)2，
当0≤n＜

时，2-

n-n=2-

n，
∴S=

(2-

n+2-

n)•n=-

n2+2n．

点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及等腰直角三角形的性质，根据数形结合进行分类讨论是解题关键，注意不要漏解．

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A、L₁

B、L₂

C、L₃

D、L₄

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先阅读下面的材料，再解答下面的各题．
在平面直角坐标系中，有AB两点，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点间的距离用|AB|表示，则有|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，下面我们来证明这个公式：证明：如图1，过A点作X轴的垂线，垂足为C，则C点的横坐标为x₁，过B点作X轴的垂线，垂足为D，则D点的横坐标为x₂，过A点作BD的垂线，垂足为E，则E点的横坐标为x₂，纵坐标为y₁．∴|AE|=|CD|=|x₁-x₂|
|BE|=|BD|-|DE|=|y₂-y₁|=||y₁-y₂|
在Rt△AEB中，由勾股定理得|AB|²=|AE|²+|BE|²=|x₁-x₂|²+|y₁-y₂|²
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

（因为|AB|表示线段长，为非负数）
注：当A、B在其它象限时，同理可证上述公式成立．
（1）在平面直角坐标系中有P（4，6）、Q（2，-3）两点，求|PQ|．
（2）如图2，直线L₁与L₂相交于点C（4，6），L₁、L₂与X轴分别交于B、A两点，其坐标B（8，0）、A（1，0），直线L₃平行于X轴，与L₁、L₂分别交于E、D两点，且|DE|=

，求线段|DA|的长．