Question

已知抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点A（1，0）和B（0，5）．
（1）求这个抛物线的解析式．
（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C．抛物线的顶点为D，是求出点C、D的坐标和△BCD的面积．
（3）点P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点．是否存在点P，使得线段BC把△PCH分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标．若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点A、B的坐标代入可得出b、c的值，继而得出这个抛物线的解析式；
（2）由抛物线解析式可求出点C、点D的坐标，过顶点D作DE⊥x轴交线段BC于E点，求出点E坐标，然后根据S_△BCD=S_△BDE+S_△DEC，即可得出答案．
（3）若BC分△PCH为面积相等两部分，则需PH与线段BC的交点是线段PH的中点，设点P（x，0），则Q（x，x+5），H（x，-x²-4x+5），根据HQ=QP，可得关于x的方程，解出即可．

解答：解：（1）把（1，0）（0，5）代入y=-x²+bx+c得：

0=-1+b+c c=5

，
解得：

b=-4 c=5

，
故二次函数解析式为y=-x²-4x+5．

（2）令y=0，则0=-x²-4x+5，
解得：x₁=1，x₂=-5，
∴C（-5，0），
由y=-x²-4x+5=-（x+2）²+9得顶点D（-2，9），
过顶点D作DE⊥x轴交线段BC于E点如图①，
由点B、C得直线BC解析式为y=x+5，
∴当x=-2时，y=3，
∴E（-2，3），
∴DE=6，
∴S△BCD=S△BDE+S△CDE=

1

2

×5×6=15．


（3）存在．
理由如下：
若BC分△PCH为面积相等两部分，则需PH与线段BC的交点是线段PH的中点，
若设PH与线段BC的交点为Q，如图②，
设点P（x，0），则Q（x，x+5），H（x，-x²-4x+5），
由HQ=QP得，-x²-4x+5-（x+5）=x+5，
解得：x₁=-1，x₂=-5（舍去），
∴存在这样的点P，其坐标为P（-1，0）．

点评：本题考查二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，每一小问的解法可能不止一种，同学们可以自己探索，例如：本题第二小问，可以求出四边形DCOB的面积，然后减去△OBC的面积求△BCD的面积．