Question

如图1，⊙O₁和⊙O₂内切于点P，⊙O₂的弦BE与⊙O₁相切于C，PB交⊙O₁于D，PC的延长线交⊙O₂于A，连接AB，CD，PE．
（1）求证：①∠BPA=∠EPA；②

AB

AC

=

BC

BD

；
（2）若⊙O₁的切线BE经过⊙O₂的圆心，⊙O₁、⊙O₂的半径分别是r、R，其中R≥2r，如图2，求证：PC•AC是定值．

Answer 1

分析：（1）①过点P作两圆公切线MN．根据弦切角定理，发现平行线CD∥AB．再结合平行线的性质和弦切角定理进一步证明∠ABC=∠BCD=∠BPA，根据圆周角定理的推论得到∠ABC=∠EPA，从而证明结论；
②首先根据两个角对应相等证明△ABC∽△APB，得到

AB

BC

=

PA

PB

；再根据CD∥AB，得到

PA

PB

=

AC

BD

，从而再根据比例的性质进行变形即可证明结论；
（2）连接O₁C，PO₂．根据相交弦定理，得PC•AC=EC•BC，只需求得EC、BC的长．则关键是求得CO₂的长，根据切线的性质发现Rt△CO₁O₂，根据两圆内切，则圆心距等于两圆的半径之差，从而根据勾股定理求得CO₂的长，此题则迎刃而解．

解答：证明：（1）①过点P作两圆公切线MN．
则∠MPB=∠PCD=∠A．
∴CD∥AB．
∴∠ABC=∠BCD．
∵BC是⊙O₁的切线，
∴∠BCD=∠BPA．
∵∠ABC=∠EPA，
∴∠BPA=∠EPA．
②∵∠ABC=∠BPA，∠A=∠A，
∴△ABC∽△APB．
∴

AB

PA

=

BC

PB

，
∴

AB

BC

=

PA

PB

．
∵CD∥AB，
∴

PA

PB

=

AC

BD

=

AB

BC

．
即

AB

AC

=

BC

BD

．

（2）连接O₁C，PO₁．
则PO₂经过点O₁，且O₁C=r，O₁O₂=R-r．
∵BE与⊙O₁相切，
∴O₁C⊥BE．
在Rt△CO₁O₂中，
CO₂=

O1 O 2 2 -O1C2

=

R2-2R

r，
∴BC=BO₂+CO₂=R+

R2-2Rr

．
EC=EO₂-CO₂=R-

R2-2Rr

．
∵PC•AC=EC•BC=2Rr．
∴PC•AC是定值．

点评：熟悉相切两圆的性质：两圆内切，则圆心距等于两圆半径之差；两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和；两圆相切，切点一定在连心线上．
两圆内切时，作两圆的外公切线是常见的辅助线之一．利用弦切角定理可以把两个圆中的有关角联系起来．
掌握圆中的重要定理：圆周角定理及其推论、弦切角定理、相交弦定理、切线的性质定理．