Question

8．如图，点A（a，1）、B（-1，b）都在函数$y=-\frac{3}{x}$（x＜0）的图象上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是y=x+2．

Answer 1

分析 作点A关于x轴的对称点A′，作点B关于y轴的对称点B′，连接A′B′，分别于x、y轴交于点P、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，由点A、B均为反比例函数上的点，由此即可求出a、b值，即得出点A、B的坐标，再根据对称的性质找出点A′、B′的坐标，结合两点的坐标利用待定系数法即可求出PQ所在直线的解析式．

解答 解：作点A关于x轴的对称点A′，作点B关于y轴的对称点B′，连接A′B′，分别于x、y轴交于点P、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，如图所示．
∵点A（a，1）、B（-1，b）都在函数$y=-\frac{3}{x}$（x＜0）的图象上，
∴a=-3÷1=-3，b=-3÷（-1）=3，
∴点A（-3，1），点B（-1，3），
∴点A′（-3，-1），点B′（1，3）．
设直线A′B′的解析式为y=kx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1=-3k+c}\\{3=k+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴直线A′B′的解析式为y=x+2，即PQ所在直线的解析式是y=x+2．
故答案为：y=x+2．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及轴对称中的最短路径问题，解题的关键是确定点P、Q的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．