Question

8．如图，已知O为直线AD上一点，OB是∠AOC内部一条射线且满足∠AOB与∠AOC互补，OM、ON分别为∠AOC、∠AOB的平分线．
（1）∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；
（2）若∠AOB=30°，试求∠AOM与∠MON的度数；
（3）若∠MON=55°，试求∠AOC的度数．

Answer 1

分析 （1）由题意可得∠AOC+∠AOB=180°，∠AOC+∠DOC=180°，可以根据同角的补角相等得到∠COD=∠AOB；
（2）根据互补的定义可求∠AOC，再根据角平分线的定义可求∠AOM，根据角平分线的定义可求∠AON，根据角的和差关系可求∠MON的度数；
（3）根据题意由∠MON=55°和角平分线的定义，以及角的和差关系可得∠AOC-∠AOB=110°，再根据互补的定义得到方程∠AOC-（180°-∠AOC）=110°，解方程即可求解．

解答 解：（1）∵∠AOC与∠AOB互补，
∴∠AOC+∠AOB=180°，
∵∠AOC+∠DOC=180°，
∴∠COD=∠AOB；
（2）∵∠AOB与∠AOC互补，∠AOB=30°，
∴∠AOC=180°-30°=150°，
∵OM为∠AOB的平分线，
∴∠AOM=75°，
∵ON为∠AOB的平分线，
∴∠AON=15°，
∴∠MON=75°-15°=60°；
（3）∵∠MON=55°，
∴∠AOM-∠AON=55°，
∴$\frac{1}{2}$∠AOC-$\frac{1}{2}$∠AOB=55°，
∠AOC-∠AOB=110°，
∴∠AOC-（180°-∠AOC）=110°，
解得∠AOC=145°．
故∠AOC的度数是145°．

点评 此题主要考查了余角和补角，角的计算，角平分线的定义，平角的定义，关键是根据图形，理清角之间的关系是解题的关键．