分析 (1)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由四边形ABCD是平行四边形,可得AO=CO.又由△ACE是等边三角形,可得AE=CE.根据三线合一,对角线垂直,即可得四边形既为菱形;
(2)根据有一个角是90°的菱形是正方形.由题意易得∠BAO=∠EAO-∠EAB=60°-15°=45°,即四边形ABCD是正方形,利用正方形的性和等边三角形的性质即可求出DE的长.
解答 证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC,
∵△ACE是等边三角形.
∴OE⊥AC,
∴BD⊥AC,
∴四边形ABCD是菱形;
(2)∵△ACE是等边三角形,OE⊥AC,
∴∠AEO=$\frac{1}{2}$∠AEC=30°,
∵∠AED=2∠EAD,
∴∠EAD=15°
∴∠ADB=45°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=DC,BD⊥AC,
∴∠CDB=∠ADB=45°
∴∠ADC=90°,
∴△ADC是等腰直角三角形,
∴OA=OC=OD=$\frac{1}{2}$AC=4,
∵△ACE是等边三角形,
∴∠EAO=60°
在Rt△AOE中,OE=OAtan60°=4$\sqrt{3}$
∴DE=OE-OD=4$\sqrt{3}$-4.
点评 此题主要考查菱形和正方形的判定.本题考查知识点较多,综合性强,能力要求全面,难度中等.注意灵活运用正方形和菱形的判定方法.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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