某电影院共有1000个座位.票价不分等次.该影院的经营经念是:当票价不超过10元时.票可以全部售出,当票价高于10元时.每提高1元.将有30张票不能售出．为了获得更好的收益.影院准备制定一个合适的票价.票价需满足以下几个条件:①票价为1元的整数倍,②放映一场电影的成本费用为5750元.票房收入必须高于成本费用．求:(1)一张� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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某电影院共有1000个座位，票价不分等次，该影院的经营经念是：当票价不超过10元时，票可以全部售出；当票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出．为了获得更好的收益，影院准备制定一个合适的票价，票价需满足以下几个条件：①票价为1元的整数倍；②放映一场电影的成本费用为5750元，票房收入必须高于成本费用．
求：（1）一张电影票的最低价格为多少元？
（2）当票价高于10元时，若票价为每张x（元），放映一场利润为y（元），求y与x的函数关系式；
（3）当每张票多少元时，放映一场电影的利润最高？最高为多少元？

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）利用影院放映一场的成本费用支出为5750元，票房收入必须高于成本费用，该影院共有l000个座位，即可求出x的最小值；
（2）根据利润=票房收入-成本费用，即可求出当票价高于10元时y与x的函数关系式；
（3）当票价不超过l0元时，利用一次函数的增减性求出最值，当票价高于10元时，利用二次函数的性质求出最值，再比较即可．

解答：解：（1）∵影院放映一场电影的成本费用为5750元，票房收入必须高于成本费用，
∴票房收入＞5750元，
∵该影院共有l000个座位，
∴一张电影票的价格＞5.75元，
又∵票价为l元的整数倍，
∴该院一张电影票的最低价格为6元；

（2）当票价高于10元时：y=x[1000-30（x-10）]-5750=-30x²+1300x-5750，
∵

1000-30(x-10)＞0

-30x2+1300x-5750＞0

，
∴5＜x＜38

，
又∵x为大于10的整数，
∴10＜x≤38．
∴y=-30x²+1300x-5750（10＜x≤38的整数）；

（3）当票价不超过l0元时：y=1000x-5750，
∵1000＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=10时，y的值最大，此时y=1000×10-5750=4250（元）；
当票价高于10元时，y=-30x²+1300x-5750，
∵-30＜0，
∴当x=

-1300

2×(-30)

=21

≈22时，y的值最大，此时y=-30×22²+1300×22-5750=8330（元）．
综上可知，当每张票定为22元时，放映一场电影的利润最高，最高为8330元．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及一次函数的增减性和二次函数的最值求法，利用已知条件根据自变量的取值范围得出函数的解析式是解题的关键．

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