Question

16．若x₁、x₂是方程x²+2（m-2）x+m²+4=0的两个实数根，且x₁²+x₂²-x₁x₂=21，求m的值．

Answer 1

分析 先利用判别式得到m≤0，再由根与系数的关系得到x₁+x₂=-2（m-2），x₁x₂=m²+4，利用完全平方公式变形x₁²+x₂²-x₁x₂=2得到（x₁+x₂）²-3x₁x₂=21，所以4（m-2）²-3（m²+4）=21，然后解关于m的方程即可得到满足条件的m的值．

解答 解：根据题意得△=4（m-2）²-4（m²+4）≥0，解得m≤0，
由根与系数的关系得到x₁+x₂=-2（m-2），x₁x₂=m²+4，
∵x₁²+x₂²-x₁x₂=21，
∴（x₁+x₂）²-3x₁x₂=21，
∴4（m-2）²-3（m²+4）=21，
整理得m²-16m-17=0，解得m₁=17，m₂=-1，
而m≤0，
∴m=-1．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．注意m的值要△≥0．