Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：CD=BE；
（2）若AB=10，求BD的长度．

Answer 1

分析：（1）等腰直角三角形的底角为45°，角平分线上的点到两边的距离相等，根据这些知识用线段的等量代换可求解．
（2）先求出BC的长度，再设BD=x，可表示出CD，从而可列方程求解．

解答：（1）证明：在△ABC中，
∵∠C=90°，AC=BC，∴∠CBA=45°（1分）
∵DE⊥AB，∠CBA=45°∴在Rt△BDE中，DE=BE　（1分）
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，∠C=90°．（1分）
∴CD=DE　（1分）
即CD=BE（1分）

（2）解：在△ABC中，
∵∠C=90°，AC=BC，AB=10
∴BC=5

2

（1分）
在Rt△BDE中，设BD=x，
∵DE=BE∴BE=CD=

2

2

x，（1分）
列方程为：x+

2

2

x=5

2

（1分）
解得BD=x=10

2

-10（2分）

点评：本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点．以及数形结合的思想．