Question

（1）操作发现：

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点在G矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决:保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求值．
（3）类比探究: 保持（1）中的条件不变，若DC=n.DF，求的值（直接写出答案）

Answer 1

（1）同意；（2）；（3）

解析试题分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF即可；
（2）可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到的值；
（3）方法同（2）．
（1）连接EF，

根据翻折不变性得∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF；
（2）设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x；
在Rt△BCF中，BC+CF=BF，即y+x=（3x）
∴y=，

（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=n•DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC+CF=BF，即y+[（n-1）x]=[（n+1）x]，
∴y=

考点：矩形的性质，图形的折叠变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．