Question

【题目】如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；

（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）最大值为 ，E（，﹣）．

【解析】

（1）用交点式函数表达式，即可求解；

（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；

（3）利用S四边形AEBD＝AB（yD﹣yE），即可求解．

解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；

故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；

（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，

则AB＝PE＝2，

则点P坐标为（4，3），

当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，

故：点P（4，3）或（0，3）；

②当AB是四边形的对角线时，如图2，

AB中点坐标为（2，0）

设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为： ，

即：＝2，解得：m＝2，

故点P（2，﹣1）；

故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；

（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，

设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），

S四边形AEBD＝AB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，

∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，

当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．