Question

11．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点E，连接OE、AE，过点E作⊙O的切线交边BC于F．
（1）求证：△ODE∽△ECF；
（2）在点O的运动过程中，设DE=x：
①求OD•CF的最大值，并求此时⊙O的半径长；
②判断△CEF的周长是否为定值？若是，求出△CEF的周长；否则，请说明理由？

Answer 1

分析 （1）根据∠OEF=90°得出∠OED+∠CEF=90°，根据∠CEF+∠CFE=90°得出∠OED=∠EFC，最后根据∠D=∠C即可证出△ODE∽△ECF；      
（2）①根据△ODE∽△ECF，得出OD•CF=DE•EC，设DE=x，得出OD•CF=-（x-4）²+16，从而求出最大值，设此时半径为r，根据OD²+DE²=OE²，得出（8-r）²+4²=r²，解方程即可；            
②在Rt△ODE中，根据OD²+DE²=OE²，OA=OE，得出（8-OE）²+x²=OE²，求出OE=4+$\frac{x^2}{16}$，OD=4-$\frac{x^2}{16}$，根据Rt△DOE∽Rt△CEF，得出$\frac{OD}{EC}$=$\frac{DE}{CF}$=$\frac{OE}{CF}$，代入得出CF=$\frac{16x}{8+x}$，EF=$\frac{64+{x}^{2}}{8+x}$，最后根据△CEF的周长=CE+CF+EF代入计算即可得出△CEF的周长=16，是定值．

解答 （1）证明：∵EF切⊙O于点M，
∴∠OEF=90°，
∴∠OED+∠CEF=90°，
∵∠C=90°，
∴∠CEF+∠CFE=90°，
∴∠OED=∠EFC，
∵∠D=∠C=90°，
∴△ODE∽△ECF；      

（2）解：①由（1）知：△ODE∽△ECF，
∴$\frac{OD}{EC}$=$\frac{DE}{CF}$，
∴OD•CF=DE•EC，
∵DE=x，
∴EC=8-x，
∴OD•CF=x（8-x）=-x²+8x=-（x-4）²+16，
当x=4时，OD•CF的值最大，最大值为16，
设此时半径为r，则OA=OE=r，OD=8-r，
在Rt△ODE中，
∵OD²+DE²=OE²，
∴（8-r）²+4²=r²，
解得r=5，
即此时半径长为5；             

②△CEF的周长为定值，△CEF的周长=16，
在Rt△ODE中，OD²+DE²=OE²，OA=OE，
即：（8-OE）²+x²=OE²，
∴OE=4+$\frac{x^2}{16}$，OD=8-OE=4-$\frac{x^2}{16}$，
∵Rt△DOE∽Rt△CEF，
即$\frac{OD}{EC}$=$\frac{DE}{CF}$=$\frac{OE}{CF}$，
∴$\frac{4-\frac{{x}^{2}}{16}}{8-x}$=$\frac{x}{CF}$=$\frac{4+\frac{{x}^{2}}{16}}{EF}$，
解得：CF=$\frac{16x}{8+x}$，EF=$\frac{64+{x}^{2}}{8+x}$，
∴△CEF的周长=CE+CF+EF=8-x+$\frac{16x}{8+x}$+$\frac{{64+{x^2}}}{8+x}$=16．

点评 此题考查圆的综合，用到的知识点是勾股定理、相似三角形的判定与性质、切线的性质，关键是找出图中的相似三角形，列出比例式．