Question

【题目】已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，回答下列问题：

（1）化简：3|a﹣c|﹣2|﹣a﹣b|；

（2）令y＝|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，x满足什么条件时，y有最小值，求最小值

Answer 1

【答案】（1）a﹣2b﹣3c；（2）当x=a时y有最小值是b﹣c．

【解析】

（1）从数轴上的标示可知c＜0＜a＜b，由此去掉绝对值符号化简即可；

（2）分区间进行去绝对值化简比较即可．

解：（1）根据数轴上的标示知，c＜0＜a＜b，

∴a﹣c＞0，﹣a﹣b＜0，

∴原式＝3（a﹣c）﹣2（a+b）＝3a﹣3c﹣2a﹣2b

＝a﹣2b﹣3c；

（2）①当x≤c时，

y＝﹣x+a﹣x+b﹣x+c＝﹣3x+a+b+c，

因为该函数为减函数，所以当且仅当x＝c时最小，最小值为：a+b﹣2c，

②当c≤x≤a时，

y＝﹣x+a﹣x+b+x﹣c＝﹣x+a+b﹣c，

因为该函数为减函数，所以当且仅当x＝a时最小，最小值为：b﹣c，

③当a≤x≤b时，

y＝x﹣a﹣x+b+x﹣c＝x﹣a+b﹣c，

因为该函数为增函数，所以当且仅当x＝a时最小，最小值为：b﹣c，

④当x≥b时，

y＝x﹣a+x﹣b+x﹣c＝3x﹣a﹣b﹣c，

因为该函数为增函数，所以当且仅当x＝b时最小，最小值为：2b﹣a﹣c，

从以上讨论中可知，当x=a时y的值是b﹣c，小于其他最小值，

所以当=a时y有最小值是b﹣c．

故答案为：（1）a﹣2b﹣3c；（2）当x=a时y有最小值是b﹣c．