Question

如图，点O是正△ABC内一点，∠AOB=90°，∠BOC=α，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，连接OE
（1）求证：△COE是正三角形；
（2）当α为何值时，AC⊥OE，并说明理由；
（3）探究是否存在α的值使得点O到正△ABC三个顶点的距离之比为？若存在请直接写出α的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得：△BOC≌△AEC
∴CO=CE，
∴∠COE=∠CEO，
∵∠OCE=60°，
∴∠COE=∠CEO=∠OCE=60°，
∴△COE是正三角形．

（2）当a=135°时，AC⊥OE，
理由如下：
∵△COE是正三角形，AC⊥OE
∴AC垂直平分OE，
∴AO=AE，
∴∠AOE=∠AEO，
∵∠AOB=90°，∠BOC=α，∠COE=60°，
∴∠AOE=210°-α，
∵∠AEO=∠AEC-60°=∠BOC-60°=α-60°
∴210°-α=α-60°，
解得α=135°，
所以当α=135°时，AC⊥OE；

（3）∵△COE是正三角形，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，
∴AC=BC，EC=CO=EO，BO=AE，∠AEC=∠BOC，
当OE：AO：AE=1：：2时，
∴∠AOE=90°，△AOE是直角三角形，
∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°，
当EO：AE：AO=1：：2时，
∴△AOE是直角三角形，tan∠EAO==，
∴∠EAO=30°，∠AOE=60°，∠AEO=90°，
∴∠BOC=∠AEC=∠AEO+∠OEC=90°+60°=150°，
故当a=120°或150°时，
存在α的值使得点O到正△ABC三个顶点的距离之比为：．
分析：（1）利用旋转的性质得出△BOC≌△AEC，进而得出∠COE=∠CEO=∠OCE=60°即可得出答案；
（2）根据∠AOB=90°，∠BOC=α，∠COE=60°，得出∠AOE=210°-α，再利用∠AEO=∠AEC-60°=∠BOC-60°得出α的度数即可；
（3）根据当OE：AO：AE=1：：2时以及当OA：EO：AE=1：：2时，由勾股定理的逆定理以及锐角三角形函数关系得出α的度数即可．
点评：此题主要考查了旋转的性质以及锐角三角函数关系和勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论的思想得出不同情况是此题的易错点．