Question

12．以△ABC的边AC为直径作⊙O，与AB、BC相交于点D、M，ME为⊙O的切线，ME⊥AB于E．
（1）求证：AB=AC；
（2）若BD=EM=2，求四边形AEMC的面积．

Answer 1

分析 （1）如图连结OM，由EM与⊙O 相切，得到OM⊥EM，根据平行线的性质得到∠B=∠OMC，由等腰三角形的性质得到∠OMC=∠C，于是得到结论；
（2）连结DM、AM，由四边形ACMD为⊙O的内接四边形，得到∠DMC+∠BAC=180°．根据相似三角形的性质得到$\frac{BM}{AB}=\frac{BD}{BC}$．推出△ABC是等边三角形，然后根据的意思等边三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）证明：如图1所示：连结OM，
∵EM与⊙O 相切，
∴OM⊥EM，
∵ME⊥AB于E．
∴OM∥AB，
∴∠B=∠OMC，
∵OM=OC，
∴∠OMC=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）连结DM、AM
∵四边形ACMD为⊙O的内接四边形，
∴∠DMC+∠BAC=180°．
又∵∠DMB+∠DMC=180°，
∴∠BMD=∠BAC．
又∵∠B=∠B，
∴△BMD∽△BAC．
∴$\frac{BM}{AB}=\frac{BD}{BC}$．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AMC=90°．
∵在△ABC中，AB=AC，
∴BM=CM=2，
∴BC=4．
∴$\frac{2}{AB}$=$\frac{2}{BC}$，
∴AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AM=2$\sqrt{3}$，
BE=1．ME=$\sqrt{3}$，
∴四边形AEMC的面积=S_△ABC-S_△BME=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}×$1×$\sqrt{3}$=$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得△BMD∽△BAC是解题的关键．