Question

已知AB∥CD．
（1）如图①，试探求∠ABE，∠CDE与∠BED之间存在的等量关系式，并给出你的证明；
（2）如图②，∠ABE，∠CDE与∠BED之间的关系为______；
（3）根据点E的不同位置，你还有新的猜想吗？如果有，请在图③中画出图形并写出相应的结论（不需要证明）结论：______；
（4）小明同学将一幅直角三角板如图④放置，若AE∥BC，则∠EFC的度数为______．

Answer 1

解：（1）如图（一），过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠2，∠1=∠CDE，
∴∠1+∠2=∠ABE+∠CDE=∠BED；

（2）∵∠1是△EFB的外角，
∴∠1=∠ABE+∠BED，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠CDE，
∴∠CDE=∠ABE+∠BED；

（3）如图（三），过E作AB的平行线，则∠1+∠ABE=180°，∠2+∠CDE=180°，
∴∠1+∠ABE+∠2+∠CDE=360°，即∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；

（4）∵AE∥BC，∴∠FDC=∠E=45°，
∵∠C=30°，∠EFC是△CDF的外角，
∴∠EFC=∠C+∠EFC=30°+45°=75°．
分析：（1）过E作AB的平行线，根据平行线的性质解答即可；
（2）先根据三角形内角与外角的关系求出∠1=∠E+∠B，再根据AB∥CD即可解答；
（3）如图③当E在如图所示的位置时，过E作AB的平行线，由平行线的性质可得出∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；
（4）先根据AE∥BC可求出∠FDC的度数，再由三角形外角的性质即可解答．
点评：本题考查了平行线的性质及三角形内角与外角的关系，难度中等．