Question

【题目】如图，四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，DE∥AC交BC的延长线于点E．

（1）求证：AB·DE=BD·DC；

（2）如果AD=CD，求证：DE为⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据圆内接四边形的性质及平角的性质证得∠DCE=∠BAD，利用平行线的性质及圆周角定理证得∠E=∠ADB，继而证得△ABD∽△CDE，从而证得结论；

（2）连接OD，根据垂径定理证得OD⊥AC，利用AC∥DE结合切线的判定定理即可证得结论．

（1）∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠BAD＋∠BCD=180°，

由∵∠BCD＋∠DCE=180°，

∴∠DCE=∠BAD．

∵DE∥AC，

∴∠E=∠ACB；

又∵∠ACB=∠ADB，

∴∠E=∠ADB．

∴△ABD∽△CDE，

∴，

∴AB·DE=BD·DC；

（2）连接OD，

∵AD=CD，

∴=，即D为的中点，

∴OD⊥AC；

∵AC∥DE，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．