Question

20．如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象经过点A（-$\sqrt{3}$，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为$\sqrt{3}$．
（1）求k和m的值；
（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求∠ACO的度数和|AO|．

Answer 1

分析 （1）由△AOB的面积为$\sqrt{3}$，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出k值，再由点A在反比例函数图象上，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m值；
（2）设直线AC与y轴交于点D，则D（0，1），由AB⊥x轴，DO⊥x轴即可得出△CDO∽△CAB，根据相似三角形的性质即可得出$\frac{CO}{CB}=\frac{DO}{AB}$，进而可得出CB的长，在Rt△CAB中，利用特殊角的三角函数值即可求出∠ACO的度数，再根据点A的坐标利用两点间的距离公式即可求出|AO|的值．

解答 解：（1）∵△AOB的面积为$\sqrt{3}$，且k＜0，
∴-$\frac{1}{2}$k=$\sqrt{3}$，
解得：k=-2$\sqrt{3}$．
∵点A（-$\sqrt{3}$，m）在反比例函数y=$\frac{-2\sqrt{3}}{x}$的图象上，
∴m=$\frac{-2\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}$=2．
（2）设直线AC与y轴交于点D，则D（0，1），如图所示．
∵AB⊥x轴，DO⊥x轴，
∴AB∥DO，
∴△CDO∽△CAB，
∴$\frac{CO}{CB}=\frac{DO}{AB}$，
∵A（-$\sqrt{3}$，2），D（0，1），
∴AB=2，OB=$\sqrt{3}$，DO=1，
∵CB=CO+OB，
∴$\frac{CO}{CO+\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴CO=$\sqrt{3}$．
在Rt△CAB中，AB=2，CB=2$\sqrt{3}$，∠ABC=90°，
∴tan∠ACO=$\frac{AB}{CB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACO=30°．
∵A（-$\sqrt{3}$，2），
∴|AO|=$\sqrt{（-\sqrt{3}-0）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）利用反比例函数系数k的几何意义求出k值；（2）求线段CO的长．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出各边之间的关系是关键．