Question

15．已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$，经过点E（3，4），现请你在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上找出一点P，使∠POE=45°，则此点P的坐标为（2$\sqrt{21}$，$\frac{6\sqrt{21}}{21}$）．

Answer 1

分析 过点E作EA⊥x轴于点A，过点P作PB⊥x轴于点B，由点E在反比例函数图象上得出k=12，设点P的坐标为（n，$\frac{12}{n}$），通过分割图形求出△OEP的面积，再根据面积公式表示出△OEP的面积，由此即可得出关于n的一元四次方程，结合函数图象解方程即可得出结论．

解答 解：方法一、过点E作EA⊥x轴于点A，过点P作PB⊥x轴于点B，如图所示．

∵点E（3，4）在函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=3×4=12，
∴设点P的坐标为（n，$\frac{12}{n}$），则点A（3，0），点B（n，0），
S_{四边形OBPE}=S_△OAE+S_梯形PBAE=$\frac{1}{2}$|k|+$\frac{1}{2}$（PB+EA）•AB=6+$\frac{1}{2}$（$\frac{12}{n}$+4）（n-3）=2n-$\frac{18}{n}$+6．
S_△OEP=S_{四边形OBPE}-S_△OBP=2n-$\frac{18}{n}$+6-$\frac{1}{2}$|k|=2n-$\frac{18}{n}$．
由两点间的距离公式可知：
OE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，OP=$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{12}{n}）^{2}}$，
S_△OEP=$\frac{1}{2}$OE•OP•sin∠EOP=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{12}{n}）^{2}}$=2n-$\frac{18}{n}$，
即7n⁴-576n²-1008=0，
解得：n²=84或n²=-84（舍去），
∴n₁=2$\sqrt{21}$，n₂=-2$\sqrt{21}$（舍去）．
∴点P的坐标为（2$\sqrt{21}$，$\frac{6\sqrt{21}}{21}$）；
方法二、

如图，过点E作EF⊥OE交OP于点F，过点E作EN⊥y轴，垂足为N，过点F作FM⊥NE于点M，
∴∠ONE=∠EMF=90°，
∴∠NOE+∠OEN=90°，
∵∠OEF=90°，
∴∠OEN+∠FEM=90°，
∴∠NOE=∠MEF，
若∠POE=45°，则OE=EF，
在△ONE和△MEF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ONE=∠EMF=90°}\\{∠NOE=∠MEF}\\{OE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ONE≌△MEF（AAS），
∴EM=ON=4、MF=NE=3，
则点F的坐标为（7，1），
∴直线OF的解析式为y=$\frac{1}{7}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{7}x}\\{y=\frac{12}{x}}\end{array}\right.$，解得x=2$\sqrt{21}$或x=-2$\sqrt{21}$（舍），
当x=2$\sqrt{21}$时，y=$\frac{12}{x}$=$\frac{12}{2\sqrt{21}}$=$\frac{6\sqrt{21}}{21}$，
即点P（2$\sqrt{21}$，$\frac{6\sqrt{21}}{21}$），
故答案为：（2$\sqrt{21}$，$\frac{6\sqrt{21}}{21}$）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元高次方程，解题的关键是得出关于n的一元四次方程．本题属于中档题，难道不大，但较繁琐，解决该题型题目时，根据三角形面积的不同求法得出关于n的一元高次方程是关键．