Question

如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD=2PA．
（1）证明：直线PB是⊙O的切线；
（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）连接OB．欲证明直线PB是⊙O的切线，只需证明OB⊥PB即可；
（2）根据（1）中全等三角形（△POB≌△POA）的对应边相等推知PB=PA，由已知条件“BD=2PA”、等量代换可以求得BD=2PB；然后由相似三角形（△DBC∽△DPO）的对应边成比例可以求得

BC

PO

=

BD

PD

=

2

3

，从而解得2PO=3BC．

解答：（1）证明：连接OB．
∵BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．（2分）
又∵OC=OB，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠POB=∠POA．（3分）
又∵PO=PO，OB=OA，
∴△POB≌△POA，（4分）
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB是⊙O的切线（5分）

（2）2PO=3BC（写PO=

3

2

BC亦可）．（5分）
证明：∵△POB≌△POA，
∴PB=PA．
∵BD=2PA，
∴BD=2PB．
∵BC∥PO，
∴△DBC∽△DPO．（8分）
∴

BC

PO

=

BD

PD

=

2

3

（相似三角形的对应边成比例），
∴2PO=3BC．（10分）
注：开始没有写出判断结论，证明正确也给满分、

点评：本题考查了切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．