Question

（2012•闵行区三模）已知：如图，AB为⊙O的弦，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线交⊙O于点C．过点C作CE⊥AO，分别与AB、AO的延长线相交于E、F两点．CD=8，sin∠A=

3

5

．
求：（1）弦AB的长；
（2）△CDE的面积．

Answer 1

分析：（1）首先设⊙O的半径OA=r，那么OD=8-r．由OD⊥AB，得∠ADO=90°．于是由在Rt△AOD中，sin∠A=

OD

OA

=

3

5

，可得

8-r

r

=

3

5

．继而求得r的长，然后由垂径定理，求得弦AB的长；
（2）易证得△AOD∽△CED，然后由相似三角形面积的比等于相似比的平方，求得△CDE的面积．

解答：解：（1）设⊙O的半径OA=r，
则OD=CD-OC=8-r．
∵OD⊥AB，
∴∠ADO=90°．
∵在Rt△AOD中，sin∠A=

OD

OA

=

3

5

．
∴

8-r

r

=

3

5

．
解得：r=5，
∴OA=5，OD=3．
利用勾股定理，得：AD=

OA2-OD2

=4，
∵OD⊥AB，O为圆心，
∴AB=2AD=8；

（2）∵CE⊥AO，
∴∠AFE=∠CDE=90°．
∴∠A+∠E=90°，∠C+∠E=90°，
∴∠A=∠C，
又∵∠ADO=∠CDE=90°，
∴△AOD∽△CED．
∴

S△AOD

S△CDE

=

AD2

CD2

=

1

4

，
∵S_△ACD=

1

2

AD•OD=

1

2

×4×3=6，
∴S_△CDE=4S_△ACD=24．

点评：此题考查了垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．