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    如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90o，得到线段BC.过点B作x轴的垂线交直线AC于点D.设点B坐标是（t，0）.

    （1）当t=4时，求直线AB的解析式；

    （2）当t>0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；

    （3）是否存在点B,使△ABD为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由.

     


    解：（1）当t=4时，B(4,0)

    设直线AB的解析式为y= kx+b .

    把 A(0,6)，B(4,0)  代入得：

                 , 解得：  ,

    ∴直线AB的解析式为：y=－x+6.

    (2) 过点C作CE⊥x轴于点E

     


    由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC.

    ∴，

    ∴BE= AO=3，CE= OB= ，

    ∴点C的坐标为(t+3，).

    方法一：

    S梯形AOEC= OE?(AO+EC)= (t+3)(6+)=t2+t+9，

    S△ AOB= AO?OB= ×6?t=3t，

    S△ BEC= BE?CE= ×3×= t，

    ∴S△ ABC= S梯形AOEC－ S△ AOB－S△ BEC

               = t2+t+9－3t－t = t2+9.

    方法二：

    ∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ ABC= AB?BC= BC2.

    在Rt△ABC中，BC2= CE2+ BE2 = t2+9，

    即S△ ABC= t2+9.

    (3)存在，理由如下：

    ①当t≥0时.

    Ⅰ.若AD＝BD.

    又∵BD∥y轴

    ∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，

    ∴∠OAB=∠BAD.

    又∵∠AOB=∠ABC，

    ∴△ABO∽△ACB，

    ∴，

    ∴= ，

    ∴t=3，即B(3，0).

    Ⅱ.若AB＝AD.

    延长AB与CE交于点G，

    又∵BD∥CG

    ∴AG＝AC

    过点A画AH⊥CG于H．

     


    ∴CH＝HG＝CG

    由△AOB∽△GEB，

    得＝ ，

    ∴GE=  .

    又∵HE＝AO＝６，CE＝

    ∴＋６＝×（＋）

    ∴t2-24t-36=0

    解得：t=12±6. 因为 t≥0，

    所以t=12＋6，即B(12＋6，0).

    Ⅲ.由已知条件可知，当0≤t<12时，∠ADB为钝角，故BD ≠ AB.

                      当t≥12时，BD≤CE<BC<AB.

    ∴当t≥0时，不存在BD＝AB的情况.

    ②当－3≤t<0时，如图，∠DAB是钝角.

     


    设AD=AB，

    过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F.

    可求得点C的坐标为(t+3，)，

    ∴CF=OE=t+3，AF=6－，

    由BD∥y轴，AB=AD得，

    ∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB

    ∴∠BAO=∠FAC，

    又∵∠AOB=∠AFC=90°，

    ∴△AOB∽△AFC，

    ∴  ，      

     ∴，    ∴t2-24t-36=0

    解得：t=12±6.因为－3≤t<0，

    所以t=12－6，即B (12－6，0).

    ③当t<－3时，如图，

     


    ∠ABD是钝角.设AB=BD，

    过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，

    可求得点C的坐标为(t+3，)，

    ∴CF= －(t+3)，AF=6－，

    ∵AB=BD，

    ∴∠D=∠BAD.

    又∵BD∥y轴，

    ∴∠D=∠CAF，

    ∴∠BAC=∠CAF.

    又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，

    ∴△ABC≌△AFC，

    ∴AF＝AB，CF=BC，

    ∴AF=2CF，即6－ =－2(t+3)，

    解得：t=－8，即B(－8，0).

    综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，此时点B坐标为：

    B1 (3，0)，B2 (12＋6，0)，B3 (12－6，0)，B4(－8，0).

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