Question

【题目】如图，中，，以为边在外作等边三角形，过点作的垂线，垂足为，与相交于点，连接.

（1）说明：；

（2）若，，是直线上的一点.则当在何处时，最小，并求此时的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）点P在点E处时PB+PC最小，最小值为12cm.

【解析】

（1）根据等边三角形“三合一”的性质证得DE垂直平分AC；然后由垂直平分线的性质可得AE=CE，根据等边对等角、直角三角形的两个锐角互余的性质以及等量代换求得∠BCE=∠B；最后根据等角对等边证得CE=BE，可得AE=CE=BE；（2）由DA⊥AB可得∠BAC=30°，可求出AB的长，由（1）知，DE垂直平分AC，故PC=PA；由等量代换知PB+PC=PB+PA；根据两点之间线段最短可知，当点P、B、A在同一直线上最小，所以点P在E处时最小．

∵DF⊥AC，△ACD是等边三角形，

∴DF垂直平分AC，

∴AE=CE，

∴∠ACE=∠CAE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠BCE=∠CAE+∠B=90°，

∴∠BCE=∠B，

∴CE=BE，

∴AE=CE=BE；

（2）∵DA⊥AB，∠DAC=60°，

∴∠BAC=30°，

∵∠ACB=90°，BC=6，

∴AB=2BC=12，

由（1）知，DE垂直平分AC，

∴PC=PA，

∴PB+PC=PB+PA；

∴当PB+PC最小时，即PB+PA最小，

∵点P、B、A在同一直线上时，PB+PA最小，

∴点P在点E处时PB+PA最小．即PB+PC最小，

当点P在E处时，PB+PC=BE+CE=BE+AE=AB=12cm．