Question

6．如图，△ABC中，BC=1．若AD₁=$\frac{1}{3}$AB，且D₁E₁∥BC，则D₁E₁=$\frac{1}{3}$；照这样继续下去，D₁D₂=$\frac{1}{3}$D₁B，且D₂E₂∥BC；D₂D₃=$\frac{1}{3}$D₂B，且D₃E₃∥BC；…；D_n-1D_n=$\frac{1}{3}$D_n-1B，且D_nE_n∥BC，则D_nE_n=1-（$\frac{2}{3}$）ⁿ（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 由D₁E₁∥BC，可得△AD₁E₁∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得$\frac{{D}_{1}{E}_{1}}{BC}=\frac{A{D}_{1}}{AB}$，继而求得D₁E₁的长，又由D₁D₂=$\frac{1}{3}$D₁B，可得AD₂=$\frac{5}{9}$AB，继而求得D₂E₂的长，同理可求得D₃E₃的长，则可求得答案．

解答 解：∵D₁E₁∥BC，
∴△AD₁E₁∽△ABC，
∴$\frac{{D}_{1}{E}_{1}}{BC}=\frac{A{D}_{1}}{AB}$，
∵BC=1，AD₁=$\frac{1}{3}$AB，
∴D₁E₁=$\frac{1}{3}$；
∵D₁D₂=$\frac{1}{3}$D₁B，
∴AD₂=$\frac{5}{9}$AB，
同理可得：D₂E₂=$\frac{5}{9}$=1-$\frac{4}{9}$=1-（$\frac{2}{3}$）²，
D₃E₃=$\frac{19}{27}$=1-（$\frac{2}{3}$）³，
∴D_nE_n=1-（$\frac{2}{3}$）ⁿ．
故答案为：$\frac{1}{3}$，1-（$\frac{2}{3}$）ⁿ．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质．注意得到规律：D_nE_n=1-（$\frac{2}{3}$）ⁿ是关键．