分析 通过证明△AFP≌△BEP就可以得出AF=BE,EP=PF,得出AE=CF,得出△EPF是等腰直角三角形,由S四边形AEPF=S△APE+S△APF.就可以得出S四边形AEPF=S△CPF+S△APF,就可以得出结论,由AF=BE,AE=CF得出EF2=BE2+CF2;求得当EP⊥AB时,EP取最小值,此时EP=$\frac{1}{2}$AB,则EF最小值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC,进一步得出结论.
解答 解:∵AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,
∴∠B=∠PAF=45°,BP=AP,
∵∠APE+∠BPE=90°,∠APE+∠APF=90°,
∴∠BPE=∠APF.
在△BPE和△APF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠PAF}\\{BP=AP}\\{∠BPE=∠APF}\end{array}\right.$,
∴△AFP≌△BEP(ASA),
∴BE=AF,PE=PF,
故(1)△EPF是等腰直角三角形正确;
∵EPF=90°,
在Rt△EPF中,由勾股定理,得EF2=PE2+PF2,
∴EF2=BE2+CF2.故(4)正确;
∵S四边形AEPF=S△APE+S△APF.
∴S四边形AEPF=S△CPF+S△APF=S△FAE=$\frac{1}{2}$S△ABC.故(2)正确.
由(1)知,△EPF是等腰直角三角形,则EF=$\sqrt{2}$EP.
当EP⊥AB时,EP取最小值,此时EP=$\frac{1}{2}$AB,则EF最小值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC,
则2EF≥BC.故(3)正确;
故答案为:(1)(2)(3)(4).
点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,中位线的性质的运用,等腰直角三角形的判定定理的运用,三角形面积公式的运用,解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键.
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