Question

已知：如图，在⊙O的内接等边三角形ABC中，经过点A的弦与BC和弧

BC

分别相交于点D和P，连接PB、PC．
（1）写出图中所有的相似三角形：

 

；
（2）求证：PA²=BC²+PB•PC．

Answer 1

分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等，证得角相等，即可证得相似三角形；
（2）利用相似三角形的性质求得即可．

解答：（1）解：△ADB∽△CDP，△ADC∽△BDP，△ABD∽△APB，
△ADC∽△ACP，△BDP∽△ACP，△APB∽△CPD；

（2）证明：∵△ADC∽△BDP
∴

AD

BD

=

AC

BP

∴AD=

AC•BD

BP

∵△ADB∽△CDP
∴

AB

CP

=

BD

PD

∴PD=

CP•BD

AB

∴PA=AD+PD=

AC•BD

BP

+

CP•BD

AB

=

(BC2+BP•CP)•BD

BC•BP

∴

PA•BC•BP

BD

=BC2+BP•CP
∵∠ABD=∠ACB=∠APB=60°
∵∠BAP=∠DAB
∴△ABD∽△APB
∴

PA

AB

=

PB

BD

即PA=

BC•BP

BD

∴PA²=BC²+PB•PC

点评：此题考查了圆的性质、相似三角形的判定与性质及比例变形．此题有一定难度，解题要细心．