Question

国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业生产的一种环保设备供不应求．若该企业的这种环保设备每年的产量保持在一定的范围，每套设备的生产成本不高于50万元，每套设备的售价不低于90万元．已知这种设备的年产量x（套）与每套的售价y₁（万元）之间满足关系式y₁=170-2x，年产量x（套）与生产总成本y₂（万元）存在如图所示的函数关系．另外企业每年其它的总支出为700万元．
（1）直接写出y₂与x之间的函数关系式；
（2）求年产量x的范围；
（3）当年产量x（套）为多少时，这种设备的年利润W（万元）最大？最大利润是多少？
（4）该企业希望这种设备的年利润不低于1218万元，请你利用（3）小题中的函数图象帮助该企业确定这种设备的销售单价的范围．在此条件下要使设备的生产成本最低，你认为销售单价应定为多少万元比较合适？

Answer 1

【答案】分析：（1）设函数关系式为y₂=kx+b，把（30，1400）（40，1700）代入求解即可；
（2）根据题中条件“每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元”列出不等式组求解年产量x的范围；
（3）根据等量关系“设备的利润=每台的售价×月产量-生产总成本-其它的总支出”列出函数关系式求得最大值．
解答：解：（1）设y₂=kx+b，由题意得：，
解得：，
即y₂与x之间的函数关系式为y₂=30x+500；

（2）依题意得：，
解得：25≤x≤40；

（3）∵W=x•y₁-y₂-700=x（170-2x）-（500+30x）-700=-2x²+140x-1200=-2（x-35）²+1250
∵25＜35＜40，
∴当x=35时，W_最大=1250万元，
即年产量为35套时，年利润最大，最大利润为1250万元．

（4）令W=1218，得-2（x-35）²+1250=1218，
解得：x₁=31，x₂=39，
通过（3）中的函数可知，要使这种产品一年的销售利润不低于1218万元，年销售量要在31套到39套之间，销售单价在92万到108万之间．
销售单价定为108万元比较合适．
点评：本题考查了二次函数的应用及待定系数法求函数解析式，难点在第二问，要求我们熟练运用配方法求二次函数的最值，另外要结合实际，考虑是否能取到最小．