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已知平面直角坐标系xOy(如图),一次函数的图象与y轴交于点A,点M在正比例函数的图象上,且MO=MA.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M.
(1)求线段AM的长;
(2)求这个二次函数的解析式;
(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图象上,点D在一次函数的图象上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.

【答案】分析:(1)先求出根据OA垂直平分线上的解析式,再根据两点的距离公式求出线段AM的长;
(2)二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M.待定系数法即可求出二次函数的解析式;
(3)可设D(n,n+3),根据菱形的性质得出C(n,n2_ n+3)且点C在二次函数y=x2_ x+3上,得到方程求解即可.
解答:解:(1)在一次函数y=x+3中,
当x=0时,y=3.
∴A(0,3).
∵MO=MA,
∴M为OA垂直平分线上的点,
可求OA垂直平分线上的解析式为y=
又∵点M在正比例函数
∴M(1,),
又∵A(0,3).
∴AM=

(2)∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M.可得

解得
∴y=x2-x+3;

(3)∵点D在一次函数的图象上,
则可设D(n,n+3),
设B(0,m),(m<3),C(n,n2-n+3)
∵四边形ABDC是菱形,
∴|AB|=3-m,|DC|=|yD-yC|=|n+3-(n2_n+3)|=|n-n2|,
|AD|==|n|,
∵|AB|=|DC|,
∴3-m=n-n2,①,
∵|AB|=|DA|,
∴3-m=n,②
解①②得,n1=0(舍去),n2=2,
将n=2,代入C(n,n2_n+3),
∴C(2,2).
点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及的知识点有抛物线解析式的确定,两点的距离公式,菱形的性质,解二元一次方程,综合性较强,难度较大.
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向拉长为原来的
 
倍,若点A、B纵坐标不变,横坐标变成原来的
12
,则线段AB
 
向缩短为原来的
 

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5
4
5
4
时,四边形ABDC的周长最短.

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(2013•上海)已知平面直角坐标系xOy(如图),直线y=
1
2
x+b
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(1)求b的值;
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k
x
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