Question

2．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于点D、E，交AB于点H，交AC于点F，P是延长线上一点，且PC=PF．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AD²=DE•DF，求证：CF=EF；
（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求线段PC的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余的性质，证得∠PCF+∠AC0=90°，即OC⊥PC，即可证得结论；
（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出．
（3）首先求出DF、DE，再根据PC²=PD•PE，即（PD+DF）²=PD（PD+DE）计算即可．

解答 （1）证明：∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC，
∵PC=PF，
∴∠PCF=∠PFC，
∵DE⊥AB，
∴∠OAC+∠AFH=90°，
∵∠PDF=∠AFH，
∴∠PFC+∠OAC=90°，
∴∠PCF+∠AC0=90°，
即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；

（2）连接AE．
∵AD²=DE•DF，
∴AD：ED=FD：AD，
∵∠ADF=∠ADE，
∴△DAF∽△DEA，
∴∠DAF=∠DEA，
∴点D是劣弧AC的中点，
∵DE⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AE}$，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{AE}$，
∴∠ACE=∠DEC，
∴CF=EF；

（3）解：由（2）可知：AD=CD，∠ACD=∠CAD．
∵∠PCD=∠CAD，
∵OH=1，AH=2，
∴OD=3，DH=2√2，DE=2DH=4√2，AD=2√3，
∵AD²=DE•DF⇒（2√3）²=4√2×DF．
∴DF=3√2/2，
∵PC=PF，PC²=PD•PE⇒PF²=PD•PE，
∴（PD+DF）²=PD（PD+DE），
∴2PD×（3√2/2）+（3√2/2）²=PD×4√2，
∴PD=9√2/4，
∴PC²=PD（PD+DE）=（9√2/4）²+（9√2/4）×4√2，
∴PC=$\frac{15\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、切割线定理、垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，寻找相似三角形是突破点，属于中考常考题型．