Question

阅读：我们规定[p，q]为一次函数y=px+q的特征数．
（1）若特征数是[2，k-2]的一次函数为正比例函数，求k的值；
（2）设点A，B分别为抛物线y=（x+m）（x-2）与x轴、y轴的交点，其中m＞0，且△OAB的面积为4，O为坐标原点，求图象过A、B两点的一次函数的特征数．
（3）设点P（m₁，n₁），Q（m₂，n₂）是抛物线y=（x+m）（x-2）上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，请直接写出m₁+m₂的值．

Answer 1

分析：（1）根据材料的相关知识，先表示出特征数所表示的一次函数解析式，由于该函数是正比例函数，那么常数项为0，可据此求出k的值；
（2）根据抛物线的解析式可得出A、B的坐标（需注意A点的坐标有两种情况），根据△OAB的面积即可求出m的值，进而可确定A点的坐标，由待定系数法即可求出直线AB的解析式，根据阅读材料的相关知识即可求得图象过A、B的一次函数的特征数；
（3）在（2）中已求得m=2，那么抛物线的对称轴为y轴，若P、Q关于y轴对称，那么P、Q的横坐标互为相反数，由此可得m₁+m₂=0．

解答：解：（1）∵特征数为[2，k-2]的一次函数为y=2x+k-2，
∴k-2=0，
∴k=2；（2分）
（2）∵抛物线与x轴的交点为A₁（-m，0），A₂（2，0），
∴与y轴的交点为B（0，-2m）；
若S_△OBA1=4，则

1

2

×m×2m=4，
∴m₁=2，m₂=-2（舍）；
若S_△OBA2=4，则

1

2

×2×2m=4，
∴m=2；
综上，m=2；
∴抛物线为y=（x+2）（x-2），它与x轴的交点为（-2，0），（2，0），与y轴的交点为（0，-4），
∴所求一次函数为y=-2x-4或y=2x-4，
∴特征数为[-2，-4]或[2，-4]．（6分）
（3）m₁+m₂=0．（8分）

点评：此题是二次函数的综合类试题，涉及到一次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数解析式的确定等知识，读懂材料的含义是解答此题的关键．