Question

9．如图，在平面直角坐标系中，点C坐标为（5，0），点B坐标为（8，4），过点B作BD∥OC交y轴于点D，点A为线段BD上一点且AB=OC，
（1）求点A的坐标．
（2）动点P从点O出发沿射线OC以每秒2个单位的速度运动，M为OB的中点，PM交线段BD于点N，设点P的运动时间为t，试用含t的式子表示线段AN的长
（3）在（2）的条件下，点P在运动的同时动点Q从O出发以每秒1个单位的速度沿线段OD向终点D运动．当点Q停止运动时，点P随之停止运动．在P、Q运动的过程中，线段BD上是否存在点R，使得以R、D、Q为顶点的三角形与△OPQ全等？若存在，请求出R点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出AD的长即可．
（2）当0≤t≤2.5时，如图2中，根据AN=AB-BN，当t＞2.5时，如图3中，AN=BN-AB即可解决问题．
（3）当DQ=OQ，DR=OP时，△POQ≌△RDQ，当OQ=DR，DQ=OP时，△POQ≌△QDR，分别根据对应边相等即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵点C坐标为（5，0），点B坐标为（8，4），BD∥OC，
∴OC=5，DB=8，
∵AB=OC=5，
∴DA=DB-AB=3，
∴点A坐标为（3，4），

（2）当0≤t≤2.5时，如图2中，

∵BN∥OP，
∴∠NBM=∠MOP，
在△BMN和△OMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NBM=∠POM}\\{BM=OM}\\{∠NMB=∠OMP}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△OMP，
∴OP=BN=2t，
∴AN=AB-BN=5-2t，
当t＞2.5时，如图3中，

∵BN=OP=2t，
∴AN=BN-AB=2t-5．

（3）如图4中，

当DQ=OQ，DR=OP时，△POQ≌△RDQ，
此时DQ=OQ=2，OP=2OQ=4，
∴DR=4，
∴点R坐标（4，4）．
如图5中，

当OQ=DR，DQ=OP时，△POQ≌△QDR，
此时4-t=2t，
∴t=$\frac{4}{3}$，
∴DR=OQ=$\frac{4}{3}$，
∴R点坐标为（ $\frac{4}{3}$，4）．
综上所述满足条件的点R坐标（4，4）或（$\frac{4}{3}$，4）．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会分类讨论，考虑问题要全面，属于中考常考题型．