Question

10．在圣诞节前夕，几位同学到某文具店调查一种进价为2元的圣诞贺卡的销售情况，每张定价3元，每天能卖出500张，每张售价每上涨0.1元，其每天销售量就减少10个．另外，物价局规定，售价不得超过商品进价的240%．据此，请你解答下面问题：
（1）要实现每天800元的利润，应如何定价？
（2）800元的利润是否最大？如何定价，才能获得最大利润？

Answer 1

分析 （1）设要实现每天800元的利润定价为x元，由总利润=每个的利润×数量列方程即可解答；
（2）设每天的利润为y元，由总利润=每个的利润×数量就可以得出y与x的关系式，将解析式化为顶点式就可以求出结论．

解答 解：（1）设要实现每天800元的利润定价为x元，根据题意，得
（x-2）（500-$\frac{x-3}{0.1}×10$）=800
整理得：x²-10x+24=0
解得：x₁=4，x₂=6
∵物价局规定，售价不得超过商品进价的240%．
即2×240%=4.8，
∴x₂=6不合题意舍去，
∴要实现每天800元的利润，应定价每张4元；
（2）设每天的利润为y元，则
y=（x-2）（500-$\frac{x-3}{0.1}×10$）
=-100x²+1000x-1600
=-100（x-5）²+900
∵x≤5时，y随x的增大而增大，并且x≤4.8，
∴当x=4.8元时，利润最大，
y_最大=-100（4.8-5）²+900=896＞800，
∴800元的利润不是最大利润，当定价为4.8元时，才能获得最大利润．

点评 本题考查了销售问题的数量关系的运用，总利润=每个的利润×数量，二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数解析式是关键．