已知线段MN=8.C是线段MN上一动点.在MN的同侧分别作等边△CMD和等边△CNE．(1)如图①.连接DN与EM.两条线段相交于点H.求证ME=DN.并求∠DHM的度数,(2)如图②.过点D.E分别作线段MN的垂线.垂足分别为F.G.问:在点C运动过程中.DF+EG的长度是否为定值.如果是.请求出这个定值.如果不是请说明理由,(3)当点C由点M移到点N时.点H移到的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．已知线段MN=8，C是线段MN上一动点，在MN的同侧分别作等边△CMD和等边△CNE．
（1）如图①，连接DN与EM，两条线段相交于点H，求证ME=DN，并求∠DHM的度数；
（2）如图②，过点D、E分别作线段MN的垂线，垂足分别为F、G，问：在点C运动过程中，DF+EG的长度是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是请说明理由；
（3）当点C由点M移到点N时，点H移到的路径长度为$\frac{16\sqrt{3}}{9}$π（直接写出结果）

分析（1）根据等边三角形的性质得到CM=CD，EC=NC，∠DCM=∠ECN=60°，根据全等三角形的性质得到ME=DN，∠CME=∠CDN，根据三角形的内角和得到∠DHM=∠DCM=60°；
（2）设MF=FC=x，则CG=NG=4-x，得到DF=$\sqrt{3}$x，EG=$\sqrt{3}$（4-x），即可得到结论；
（3）如图③，当点C由点M移到点N时，点H移动的路径即为$\widehat{MHN}$，根据邻补角的定义得到∠MHN=120°，根据圆周角定义得到∠MON=120°，解直角三角形得到OM=ON=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，于是得到结论．

解答（1）证明：∵△CMD与△CNE是等边三角形，
∴CM=CD，EC=NC，∠DCM=∠ECN=60°，
∴∠DCN=∠MCE=120°，
在△MCE与△DCN中，$\left\{\begin{array}{l}{MC=DC}\\{∠MCE=∠DCN}\\{EC=NC}\end{array}\right.$，
∴△MCE≌△DCN，
∴ME=DN，∠CME=∠CDN，
∵∠1=∠2，
∴180°-∠CME-∠1=180°-∠CDN-∠2，
∴∠DHM=∠DCM=60°；
（2）解：DF+EG为定值，
理由：设MF=FC=x，则CG=NG=4-x，
∴DF=$\sqrt{3}$x，EG=$\sqrt{3}$（4-x），
∴DF+GE=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$（4-x）=4$\sqrt{3}$；
（3）解：如图③，当点C由点M移到点N时，点H移到的路径即为$\widehat{MHN}$，
∵∠MHD=60°，
∴∠MHN=120°，
∴∠MPN=60°，
∴∠MON=120°，
∵MN=8，
∴OM=ON=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴点H移到的路径长度=$\frac{120π×\frac{8\sqrt{3}}{3}}{180}$=$\frac{16\sqrt{3}π}{9}$，
故答案为：$\frac{16\sqrt{3}π}{9}$．

点评本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．

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