Question

10．如图，已知△ABC，分别以AC，BC，AB为边，作等边三角形ACE，BCD和ABF，连接AD，BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．

Answer 1

分析 证明△ECB≌△ACD，得到∠CEB=∠CAD，借助内角和定理可证∠APE=60°，同理∠CPE=∠EAC=60°，在PE上截取PH=PC，连接HC，证明△CPA≌△CHE，即可解决问题．

解答 证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形
∴EC=AC，BC=DC，
∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；
在△ECB和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=AC}\\{∠ECB=∠ACD}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴∠CEB=∠CAD；
设BE与AC交于Q，
又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°
∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．
同理可得∠CPE=∠EAC=60°，
在PE上截取PH=PC，连接HC，
则△PCH为等边三角形，
∴HC=PC，∠CHP=60°，
∴∠CHE=120°；
又∵∠APE=∠CPE=60°，
∴∠CPA=120°，
∴∠CPA=∠CHE；
在△CPA和△CHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CPA=∠CHE}\\{∠CAP=∠CEH}\\{PC=HC}\end{array}\right.$，
∴△CPA≌△CHE（AAS），
∴AP=EH，
∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、等边三角形的性质等几何知识的综合应用；证明∠APE=∠CPE=∠EAC=60°是解决问题的关键，本题对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．