Question

如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=-x²+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是抛物线上一点，且S_△ABP=

1

2

S_△ABC，这样的点P有

 

个．

Answer 1

分析：（1）根据直线BC的解析式，可求得B、C的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定抛物线的解析式；
（2）令抛物线的解析式中y=0，即可求出A点的坐标，以AB为底，OC为高即可得到△ABC的面积；
（3）△ABP和△ABC同底，那么面积比等于高的比，所以P点到AB的距离是OC长的一半，由此可求出P点纵坐标的绝对值，在x轴上、下方的抛物线上各有两个符合条件的P点，所以共有4个．

解答：解：（1）∵直线y=-x+3经过B、C两点，∴B（3，0），C（0，3）；
已知抛物线经过B、C两点，则有：

-9+3b+c=0 c=3

，
解得

b=2 c=3

；
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）令（1）所得的抛物线中y=0，得-x²+2x+3=0，
解得x=-1，x=3；
∴A（-1，0），
又∵B（3，0），C（0，3），
∴AB=4，OC=3；
S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×3=6；

（3）∵S_△ABC=

1

2

AB•OC，S_△ABP=

1

2

AB•|y_P|，且S_△ABP=

1

2

S_△ABC，
∴|y_P|=

1

2

OC=1.5，
即P点的纵坐标为±1.5；
由函数的图象知，符合条件的P点共有4个．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定以及三角形面积的求法．