Question

设二次函数y=-x²+（m-2）x+3（m+1）的图象与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于C点，线段AO与OB的长的积等于6（O是坐标原点），连接AC、BC，求sinC的值．

Answer 1

∵二次函数y=-x²+（m-2）x+3（m+1）的图象与x轴交于A、B两点（A在B左边），
∴设A、B的坐标为（x₁，0），（x₂，0），
∴OA=|x₁|，OB=|x₂|，
∴x₁+x₂=-（m-2），x₁x₂=-3（m+1），
而线段AO与OB的长的积等于6，
∴3（m+1）=±6，
∴m=1或-3，
当m=1时，抛物线解析式为y=-x²-x+6，
∴A、B的坐标为（-3，0），（2，0），C（0，6）
∴AC=3

5

，BC=2

10

，AB=5，
如图抛物线过A作AD⊥BC于D，
则S_△ABC=

1

2

CO•BA=

1

2

AD•BC，
∴AD=

CO×BA

BC

=

3

4

10

，
∴sinC=

AD

AC

=

2

4

；
当m=-3时，抛物线解析式为y=-x²-5x-6，
∴A、B的坐标为（-3，0），（-2，0），C（0，-6）
∴AC=3

5

，BC=2

10

，AB=1，
如图抛物线过A作AD⊥BC于D，
则S_△ABC=

1

2

CO•BA=

1

2

AD•BC，
∴AD=

CO×BA

BC

=

3

10

10

，
∴sinC=

AD

AC

=

2

10

；
所以sinC的值为

2

4

或

2

10

．