Question

有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士？

Answer 1

设原有战士8n人，8n+120=a²，8n-120=b²，
则存在a²-b²=240，
即（a+b）（a-b）=240．但a+b与a-b的奇偶性相同，且a、b都为偶数，
故a+b=120，a-b=2，于是a=61，b=59（不合题意舍去）；
a+b=60，a-b=4，于是a=32，b=28，则8x=904．因为904-120=784，784为28的平方，即28行28列，与题意不符，即不是在原8列的方阵中减去120，而是减去120再排成队列，所以904不符条件，应舍去；
a+b=40，a-b=6，于是a=23，b=17（不合题意舍去）；
a+b=30，a-b=8，于是a=19，b=11（不合题意舍去）；
a+b=24，a-b=10，于是a=17，b=7（不合题意舍去）；
a+b=20，a-b=12，于是a=16，b=4，则8x=136；
a+b=16，a-b=15，于是a=15.5，b=0.5（不合题意舍去）．
故原长方形队列共有136名战士．