Question

27、如图：将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由．
（1）若折成图②或图③，即点A落在BE或CD上时，分别写出∠A与∠2；∠A与∠1之间的关系；（不必证明）
（2）若折成图④，写出∠A与∠1、∠2之间的关系式；（不必证明）
（3）若折成图⑤，写出∠A与∠1、∠2之间的关系式．（不必证明）

Answer 1

分析：这五个图的解法是一致的，首先将画出折叠前的三角形，设为△BPC；
图①中，可连接AP，分别在△ADP、△AEP中，利用三角形的外角性质表示出∠1、∠2；两者相加联立折叠的性质即可得到所求的结论．
图②、③中，可直接利用三角形的外角性质得到∠1、∠2的表达式，联立由折叠的性质得到到∠A=∠P，即可得出所求的结论．
图④、⑤中，设AE（图⑤中为AD）与BD（图⑤中为CE）的交点为F，依然是利用三角形的外角性质，得到∠2（图⑤为∠1）和∠EFP（图⑤为∠DFE）的表达式，联立两式，即可求得∠1、∠2、∠A的关系式．

解答：解：延长BD、CE，交于点P；
则△BCP即为折叠前的三角形，
由折叠的性质知：∠DAE=∠DPE．
图①中：连接AP；
由三角形的外角性质知：
∠1=∠DAP+∠DPA，∠2=∠EAP+∠EPA；
则∠1+∠2=∠DAE+∠DPE=2∠DAE，
即∠1+∠2=2∠A．
图②中：由三角形的外角性质知：
∠2=∠DPE+∠DAE=2∠DAE，
即∠2=2∠A．
图③中：∠1=2∠A，解法同图②．
图④中：由三角形的外角性质，知：
∠2=∠3+∠P，∠3=∠1+∠A，
即∠2=∠P+∠1+∠A=2∠A+∠1，故∠2-∠1=2∠A．
图⑤中：∠1-∠2=2∠A，解法同图⑤．
故当点A落在四边形BCDE内部，∠1+∠2=2∠A．
（1）图②中，∠2=2∠A；图③中，∠1=2∠A．
（2）图④中，∠2-∠1=2∠A．
（3）图⑤中，∠1-∠2=2∠A．

点评：此题主要考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系是解决问题的关键．