Question

13．如图，在矩形ABCD中，AB=m，BC=4，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点）．连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）．
设CP=x，DE=y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点P在线段DC上运动时，点E总在线段AD上，求m的取值范围；
（3）当m=8时，是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点F落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△CPM∽△DEP得$\frac{CP}{DE}$=$\frac{CM}{DP}$由此即可解决问题．
（2）y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$mx，根据函数的最大值是4，列出不等式即可解决问题．
（3）存在，过P作PH垂直于AB，由对称的性质得到：PD′=PD=8-x，ED′=ED=y=-$\frac{1}{2}$x²+4x，EA=AD-ED=$\frac{1}{2}$x²-4x+4，∠PD′E=∠D=90°，在Rt△D′PH中，PH=4，D′P=DP=8-x，根据勾股定理表示出D′H，再由△ED′A∽△D′PH，由相似得比例，将各自表示出的式子代入，可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意的x的值．

解答 解：（1）：（1）∵PE⊥PM，∴∠EPM=90°，
∴∠DPE+∠CPM=90°，
又矩形ABCD，∴∠D=90°，
∴∠DPE+∠DEP=90°，
∴∠CPM=∠DEP，又∠C=∠D=90°，
∴△CPM∽△DEP，
∴$\frac{CP}{DE}$=$\frac{CM}{DP}$，
又CP=x，DE=y，AB=DC=m，∴DP=m-x，
又M为BC中点，BC=4，∴CM=2，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{2}{m-x}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$mx．
（2）由题意：-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$mx≤4，
∴$\frac{4×（-\frac{1}{2}）×0-（\frac{1}{2}m）^{2}}{4×（-\frac{1}{2}）}$≤4，
∴m²≤32，
∵m＞0
∴0＜m≤4$\sqrt{2}$．

（3）存在，过P作PH⊥AB于点H，

∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，
∴PD′=PD=8-x，ED′=ED=y=-$\frac{1}{2}$x²+4x，EA=AD-ED=$\frac{1}{2}$x²-4x+4，∠PD′E=∠D=90°，
在Rt△D′PH中，PH=4，D′P=DP=8-x，
根据勾股定理得：D′H=$\sqrt{{（8-x）^{2}-4}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-16x+48}$，
∵∠ED′A=180°-90°-∠PD′H=90°-∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=90°，
∴△ED′A∽△D′PH，
∴$\frac{ED′}{D′P}$=$\frac{EA}{D′H}$，即，$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x}{8-x}$=$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+4}{\sqrt{{x}^{2}-16x+48}}$，
整理得：x²-4x+2=0，
解得：x=2$±\sqrt{2}$．
当x=2+$\sqrt{2}$时，y=5+2$\sqrt{2}$＞4，
此时，点E在边DA的延长线上，D关于直线PE的对称点不可能落在边AB上，所以舍去．
当x=2-$\sqrt{2}$时，y=5-2$\sqrt{2}$＜4，此时，点E在边AD上，符合题意．
所以当x=2-$\sqrt{2}$时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，对称的性质，矩形的性质，以及一元二次方程的应用，利用了数形结合的数学思想，灵活运用相似三角形的判定与性质是解本题的关键．