Question

如图，抛物线y=﹣x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

(1)抛物线的解析式为：y=﹣x²+x+2
(2)存在，P₁（，4），P₂（，），P₃（，﹣）
(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S_{四边形CDBF的面积最大}=．

解析试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；
（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P₁；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P₂，P₃；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x²+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x²+x+2；
（2）∵y=﹣x²+x+2，

∴y=﹣（x﹣）²+，
∴抛物线的对称轴是x=．
∴OD=．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP₁=CP₂=CP₃=CD．
作CH⊥x轴于H，
∴HP₁=HD=2，
∴DP₁=4．
∴P₁（，4），P₂（，），P₃（，﹣）；
（3）当y=0时，0=﹣x²+x+2
∴x₁=﹣1，x₂=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a²+a+2），
∴EF=﹣a²+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a²+2a（0≤x≤4）．
∵S_{四边形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，
=+a（﹣a²+2a）+（4﹣a）（﹣a²+2a），
=﹣a²+4a+（0≤x≤4）．
=﹣（a﹣2）²+
∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，
∴E（2，1）．

考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值