分析 (1)先判断出∠BEC=∠CGA,BE=CG,进而得出△BEF≌△CGA,即可得出结论;
(2)同(1)的方法直接得出结论;
(3)同(1)的方法得出∠BEC=∠CGA,再用同弧所对的圆周角相等,进而得出△BFG∽△CAE,即可得出AE=kFG,进而用锐角三角函数和等腰三角形的性质得出FG,即可.
解答 解:(1)BF=AC,
理由:如图1,过点B,C,D作圆交AB于G,连接CG,
∴∠BGC=∠BDC,
∵∠BEC+∠BDC=180°,
∴∠BEC+∠BGC=180°,
∴∠BGC+∠AGC=180°,
∴∠BEC=∠CGA,
∵∠BEC+∠BDC=180°,∠BEC+∠AEC=180°,
∴∠BDC=∠AEC,
∵∠BDC=∠BGC,
∴∠CEG=∠CGE,
∴CE=CG,
∵CE=BE,
∴BE=CG,
在△BEF和△CGA中,$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠CGA}\\{BE=CG}\\{∠EBF=∠GCA(同弧所对的圆周角相等)}\end{array}\right.$,
∴△BEF≌△CGA,
∴BF=AC,
故答案为:BF;
(2)BF=AC仍然成立,
理由:同(1)的方法直接得出,BF=AC,
(3)如图2,过点B,C,D作圆交CF于G,连接BG,过点B作BM⊥CF,
∴∠BMF=90°,
∵点C,B,D,G四点共圆,
∵∠BEC+∠BDC=180°,∠BEC+∠BEF=180°,
∴∠BDC=∠BEF,
∵∠BGC=∠BDC,
∴∠BGE=∠BEG,
∴BG=BE,
∴∠BDC=∠BGC,
∵∠BEC+∠BDC=180°,
∴∠BEC+∠BGC=180°,
∵∠BGF+∠BGC=180°,
∴∠BGF=∠BEC,
∵∠FBG=∠DCF,
∴△BFG∽△CAE,
∴$\frac{FG}{AE}$=$\frac{BG}{CE}$,
∵BG=BE,
∴$\frac{FG}{AE}$=$\frac{BE}{CE}$,
∵CE=kBE,
∴$\frac{FG}{AE}$=$\frac{BE}{CE}$=$\frac{1}{k}$,
∴AE=kFG,
在Rt△BMF中,BF=m,∠BFE=α,
∴cosα=$\frac{FM}{BF}$,
∴FM=BF•cosα=m•cosα,
∵EF=n,
∴EF=FM+ME,
∴ME=EF-FM=n-m•cosα,
∵BG=BE,BM⊥CF,
∴EG=2ME=2(n-m•cosα),
∴FG=EF-EG=n-2(n-m•cosα),
∴AE=kFG=k[n-2(n-m•cosα)]=k(2m•cosα-n).
点评 此题是相似形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,圆周角的性质,相似三角形性质和判定,锐角三角函数,等腰三角形的性质,作出辅助线是解本题的关键,用类比的方法得出后面两问是解本题的难点.
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