Question

图1至图4的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格(每个小方格的边长均为1个单位长)，其对称中心为点O．

如图1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O，它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大(即点O不动，正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；……)，直到充满正方形ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．

另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD的内侧边缘按A→B→C→D→A移动(即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始，先向左平移，当点Q与点B重合时，再向上平移，……)．

正方形EFGH和正方形MNPQ从如图1的位置同时开始运动，设运动时间为x秒，它们的重叠部分面积为y个平方单位．

(1)当正方形MNPQ第一次回到起始位置时，正方形EFGH是否也变化到起始位置？

(2)请你在图2和图3中分别画出x为3秒、18秒时，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分(重叠部分用阴影表示)，并分别写出重叠部分的面积；

(3)正方形EFGH第一次充满正方形ABCD之前(即x≤7时)，何时正方形EFGH和正方形MNPQ重叠部分的面积为3平方单位．

Answer 1

答案：
解析：

(1)正方形EFGH每次变化到起始位置所需时间为14秒，正方形MNPQ第一次回到起始位置所需时间为56秒，因56÷14＝4，所以此时正方形EFGH也变化到起始位置．　　2分 　　(2)相应的图形如图1、图2．　　6分 　　当x＝3时，y＝10；当x＝18时，y＝18．　　7分 　　(3)①当x＜1时，两正方形无重叠； 　　②当1≤x≤3.5时，如图3： 　　延长MN交AD于K，设MN与HG交于S，MQ与FG交于T， 　　则MK＝6＋x，SK＝TQ＝7－x， 　　从而MS＝MK－SK＝2x－1，MT＝MQ－TQ＝6－(7－x)＝x－1． 　　∴y＝MT·MS＝(x－1)(2x－1)＝2x2－3x＋1．　　10分 　　令y＝3，则2x2－3x＋1＝3 　　解之得：　　12分 　　③当3.5≤x≤7时，y＝MN·MT＝6(x－1)＝6x－6 　　令y＝3，则6x－6＝3，解得：(不合题意，舍去) 　　∴当x＝2时，重叠部分的面积为3平方单位．　　14分