Question

（2009•顺义区一模）取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如图所示．
试问：（1）当α为多少度时，能使得图2中AB∥DC；
（2）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使AB∥DC，只要证出∠CAC′=15°即可．
（2）当0°＜α≤45°时，总有△EFC′存在．根据∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，又因为∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°，得到∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°，则∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°．
解答：解：（1）由题意∠CAC′=α，
要使AB∥DC，须∠BAC=∠ACD，
∴∠BAC=30°，α=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°，
即α=15°时，能使得AB∥DC．

（2）连接BD，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小没有变化，总是105°，
当0°＜α≤45°时，总有△EFC′存在．
∵∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，∠CAC′=α，∠FEC′=∠C+α，
又∵∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°，
∴∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°，
又∵∠C′=45°，∠C=30°，
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°．
点评：本题需要把旋转的性质、平行线的判定和三角形内角和定理相结合求解，考查学生综合运用数学知识的能力，注意“内错角相等，两直线平行”．