分析 (1)如答图1所示,作辅助线,由全等三角形证明GH=AE;由相似三角形△AFG∽△ABE,求出$\frac{GF}{FH}$的值;
(2)若$\frac{BE}{EC}$=$\frac{1}{5}$,如答图2所示,有两种情形,需要分类讨论;
(3)若$\frac{BE}{EC}$=k,如答图2所示,有两种情形,需要分类讨论.
解答 解:(1)如答图1所示,过点H作HN⊥AB于点N,则四边形ADHN为矩形,
∴HN=AD,
∴HN=AB.
∵∠AGH+∠GHN=∠AGH+∠EAB=90°,
∴∠GHN=∠EAB.
在△AEB与△HGN中,
$\left\{\begin{array}{l}∠B=∠HNG=90°\\ AB=HN\\∠EAB=∠GHN\end{array}\right.$
∴△AEB≌△HGN(ASA).
∴GH=AE.
若E为边BC的中点,则BE=$\frac{1}{2}$BC=2.
由勾股定理得:AE=$\sqrt{{AB}^{2}+{BE}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
∴GH=2$\sqrt{5}$;
∵∠EAB=∠EAB,∠AFG=∠B=90°,
∴△AFG∽△ABE,
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AB}$,
∴GF=$\frac{AF}{AB}$•BE=$\frac{\frac{1}{2}AE}{4}$×2=$\frac{1}{4}$AE=$\frac{1}{4}$GH.
∴FH=GH-GF=$\frac{3}{4}$GH,
∴$\frac{GF}{FH}$=$\frac{1}{3}$.
(2)若$\frac{BE}{EC}$=$\frac{1}{5}$,
①若点E在线段BC上,如答图2-1所示,则BE=$\frac{2}{3}$,
与(1)同理,易证△AFG∽△ABE,
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AB}$,
∴GF=$\frac{AF}{AB}$•BE=$\frac{\frac{1}{2}AE}{4}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{12}$AE=$\frac{1}{12}$GH,
∴FH=GH-GF=$\frac{11}{12}$GH,
∴$\frac{GF}{FH}$=$\frac{1}{11}$;
②若点E在线段CB的延长线上,如答图2-2所示,则BE=1.
与(1)同理,可得AE=GH.
与(1)同理,易证△AFG∽△ABE,
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AB}$,
∴GF=$\frac{AF}{AB}$•BE=$\frac{\frac{1}{2}AE}{4}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$AE=$\frac{1}{8}$GH,
∴FH=GH+GF=$\frac{9}{8}$GH,
∴$\frac{GF}{FH}$=$\frac{1}{9}$.
综上所述,若$\frac{BE}{EC}$=$\frac{1}{5}$,则$\frac{GF}{FH}$的值为$\frac{1}{11}$或$\frac{1}{9}$.
(3)若$\frac{BE}{EC}$=k,
①若点E在线段BC上,如答图2-1所示.
∵BE+CE=BC,∴BE=$\frac{k}{k+1}$BC=$\frac{k}{k+1}$AB.
与(1)同理,易证△AFG∽△ABE,
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AB}$,
∴GF=$\frac{AF}{AB}$•BE=$\frac{\frac{1}{2}AE}{AB}$×$\frac{k}{k+1}$AB=$\frac{k}{2k+2}$AE=$\frac{k}{2k+2}$GH,
∴FH=GH-GF=$\frac{k+2}{2k+2}$GH,
∴$\frac{GF}{FH}$=$\frac{k}{k+2}$;
②若点E在线段CB的延长线上,如答图2-2所示.
∵BE+BC=EC,∴BE=$\frac{k}{1-k}$BC=$\frac{k}{1-k}$AB.
与(1)同理,可得AE=GH.
与(1)同理,易证△AFG∽△ABE,
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AB}$,
∴GF=$\frac{AF}{AB}$•BE=$\frac{\frac{1}{2}AE}{AB}$×$\frac{k}{1-k}$AB=$\frac{k}{2-2k}$AE=$\frac{k}{2-2k}$GH,
∴FH=GH+GF=$\frac{2-k}{2-2k}$GH,
∴$\frac{GF}{FH}$=$\frac{k}{2-k}$.
综上所述,若$\frac{BE}{EC}$=k,则$\frac{GF}{FH}$的值为$\frac{k}{k+2}$或$\frac{k}{2-k}$.
点评 本题是几何综合题,考查了相似三角形、正方形、全等三角形、勾股定理等知识点.本题三问体现了由特殊到一般的数学思想,由特殊情形归纳出一般规律.解题时注意运用分类讨论的数学思想,避免漏解;另外比例关系运算较为复杂,注意认真计算不要出错.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 甲班 | B. | 乙班 | C. | 两班一样整齐 | D. | 无法确定 |
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A. | 2$\sqrt{5}$ | B. | 2$\sqrt{3}$ | C. | 3$\sqrt{3}$ | D. | 4$\sqrt{3}$ |
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