Question

12．正方形ABCD中，AB=4．点E为射线CB上一点，F为AE的中点，过点F作GH⊥AE分别交边AB和CD于G，H．
（1）若E为边BC的中点，GH=2$\sqrt{5}$；$\frac{GF}{FH}$=$\frac{1}{3}$；
（2）若$\frac{BE}{EC}$=$\frac{1}{5}$，求$\frac{GF}{FH}$的值；
（3）若$\frac{BE}{EC}$=k，$\frac{GF}{FH}$=$\frac{k}{k+2}$或$\frac{k}{2-k}$．

Answer 1

分析 （1）如答图1所示，作辅助线，由全等三角形证明GH=AE；由相似三角形△AFG∽△ABE，求出$\frac{GF}{FH}$的值；
（2）若$\frac{BE}{EC}$=$\frac{1}{5}$，如答图2所示，有两种情形，需要分类讨论；
（3）若$\frac{BE}{EC}$=k，如答图2所示，有两种情形，需要分类讨论．

解答 解：（1）如答图1所示，过点H作HN⊥AB于点N，则四边形ADHN为矩形，
∴HN=AD，
∴HN=AB．
∵∠AGH+∠GHN=∠AGH+∠EAB=90°，
∴∠GHN=∠EAB．

在△AEB与△HGN中，
$\left\{\begin{array}{l}∠B=∠HNG=90°\\ AB=HN\\∠EAB=∠GHN\end{array}\right.$
∴△AEB≌△HGN（ASA）．
∴GH=AE．
若E为边BC的中点，则BE=$\frac{1}{2}$BC=2．
由勾股定理得：AE=$\sqrt{{AB}^{2}+{BE}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
∴GH=2$\sqrt{5}$；
∵∠EAB=∠EAB，∠AFG=∠B=90°，
∴△AFG∽△ABE，
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AB}$，
∴GF=$\frac{AF}{AB}$•BE=$\frac{\frac{1}{2}AE}{4}$×2=$\frac{1}{4}$AE=$\frac{1}{4}$GH．
∴FH=GH-GF=$\frac{3}{4}$GH，
∴$\frac{GF}{FH}$=$\frac{1}{3}$．

（2）若$\frac{BE}{EC}$=$\frac{1}{5}$，
①若点E在线段BC上，如答图2-1所示，则BE=$\frac{2}{3}$，
与（1）同理，易证△AFG∽△ABE，
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AB}$，
∴GF=$\frac{AF}{AB}$•BE=$\frac{\frac{1}{2}AE}{4}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{12}$AE=$\frac{1}{12}$GH，
∴FH=GH-GF=$\frac{11}{12}$GH，
∴$\frac{GF}{FH}$=$\frac{1}{11}$；
②若点E在线段CB的延长线上，如答图2-2所示，则BE=1．
与（1）同理，可得AE=GH．
与（1）同理，易证△AFG∽△ABE，
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AB}$，
∴GF=$\frac{AF}{AB}$•BE=$\frac{\frac{1}{2}AE}{4}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$AE=$\frac{1}{8}$GH，
∴FH=GH+GF=$\frac{9}{8}$GH，
∴$\frac{GF}{FH}$=$\frac{1}{9}$．
综上所述，若$\frac{BE}{EC}$=$\frac{1}{5}$，则$\frac{GF}{FH}$的值为$\frac{1}{11}$或$\frac{1}{9}$．


（3）若$\frac{BE}{EC}$=k，
①若点E在线段BC上，如答图2-1所示．
∵BE+CE=BC，∴BE=$\frac{k}{k+1}$BC=$\frac{k}{k+1}$AB．
与（1）同理，易证△AFG∽△ABE，
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AB}$，
∴GF=$\frac{AF}{AB}$•BE=$\frac{\frac{1}{2}AE}{AB}$×$\frac{k}{k+1}$AB=$\frac{k}{2k+2}$AE=$\frac{k}{2k+2}$GH，
∴FH=GH-GF=$\frac{k+2}{2k+2}$GH，
∴$\frac{GF}{FH}$=$\frac{k}{k+2}$；
②若点E在线段CB的延长线上，如答图2-2所示．
∵BE+BC=EC，∴BE=$\frac{k}{1-k}$BC=$\frac{k}{1-k}$AB．
与（1）同理，可得AE=GH．
与（1）同理，易证△AFG∽△ABE，
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AB}$，
∴GF=$\frac{AF}{AB}$•BE=$\frac{\frac{1}{2}AE}{AB}$×$\frac{k}{1-k}$AB=$\frac{k}{2-2k}$AE=$\frac{k}{2-2k}$GH，
∴FH=GH+GF=$\frac{2-k}{2-2k}$GH，
∴$\frac{GF}{FH}$=$\frac{k}{2-k}$．
综上所述，若$\frac{BE}{EC}$=k，则$\frac{GF}{FH}$的值为$\frac{k}{k+2}$或$\frac{k}{2-k}$．

点评 本题是几何综合题，考查了相似三角形、正方形、全等三角形、勾股定理等知识点．本题三问体现了由特殊到一般的数学思想，由特殊情形归纳出一般规律．解题时注意运用分类讨论的数学思想，避免漏解；另外比例关系运算较为复杂，注意认真计算不要出错．