Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E，联结AD．

（1）如果∠CAD：∠DAB＝1：2，求∠CAD的度数；

（2）如果AC＝1，tan∠B＝，求∠CAD的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）∠CAD＝18°；（2）∠CAD的正弦值为.

【解析】

（1）由DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E，可得∠DAB＝∠DBA，则∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠DAB＝90°，而∠CAD：∠DAB＝1：2，则可求∠CAD的度数．

（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B＝，可求得BC，从而利用勾股定理可求得AB的值，进而可求得AE、DE的值，即可求得AD，而cos∠CAD＝，sin∠CAD＝，即可求∠CAD的正弦值．

（1）∵∠CAD：∠DAB＝1：2

∴∠DAB＝2∠CAD

在Rt△ABC中，∠CAD+∠DAB+∠DBA＝90°

∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E

∴∠DAB＝∠DBA

∴∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠CAD+2∠CAD＝90°

解得，∠CAD＝18°

（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B＝，

∴BC＝2

由勾股定理得，AB＝

∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E

∴BE＝AE＝

∵∠DAE＝∠DBE

∴在Rt△ADE中

tan∠B＝tan∠DAE＝

∴DE＝

∴由勾股定理得

∴cos∠CAD＝

∴sin∠CAD＝

则∠CAD的正弦值为.