如图.在平面直角坐标系中.抛物线与x轴交于点A和点B(1.0).直线y=2x﹣1与y轴交于点C.与抛物线交于点C.D． (1)求抛物线的解析式, (2)求点A到直线CD的距离, (3)平移抛物线.使抛物线的顶点P在直线CD上.抛物线与直线CD的另一个交点为Q.点G在y轴正半轴上.当以G.P.Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时.求出所有符合条件的G点的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点A到直线CD的距离；

（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．

解：（1）直线y=2x﹣1，当x=0时，y=﹣1，则点C坐标为（0，﹣1）．

设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，

∵点A（﹣1，0）、B（1，0）、C（0，﹣1）在抛物线上，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为：y=x²﹣1．

（2）如答图2所示，直线y=2x﹣1，当y=0时，x=；[来源:学科网ZXXK]

设直线CD交x轴于点E，则E（，0）．

在Rt△OCE中，OC=1，OE=，由勾股定理得：CE=，

设∠OEC=θ，则sinθ=，cosθ=．

过点A作AF⊥CD于点F，

则AF=AE•sinθ=（OA+OE）•sinθ=（1+）×=，

∴点A到直线CD的距离为．

（3）∵平移后抛物线的顶点P在直线y=2x﹣1上，

∴设P（t，2t﹣1），则平移后抛物线的解析式为y=（x﹣t）²+2t﹣1．

联立，化简得：x²﹣（2t+2）x+t2+2t=0，

解得：x₁=t，x₂=t+2，即点P、点Q的横坐标相差2，

∴PQ===．

△GPQ为等腰直角三角形，可能有以下情形：

i）若点P为直角顶点，如答图3①所示，则PG=PQ=．

∴CG====10，

∴OG=CG﹣OC=10﹣1=9，

∴G（0，9）；

ii）若点Q为直角顶点，如答图3②所示，则QG=PQ=．

同理可得：Q（0，9）；

iii）若点G为直角顶点，如答图3③所示，此时PQ=，则GP=GQ=．

分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足分别为点M、N．

易证Rt△PMG≌Rt△GNQ，

∴GN=PM，GM=QN．

在Rt△QNG中，由勾股定理得：GN²+QN²=GQ²，即PM²+QN²=10 ①

∵点P、Q横坐标相差2，∴NQ=PM+2，

代入①式得：PM²+（PM+2）²=10，解得PM=1，

∴NQ=3．

直线y=2x﹣1，当x=1时，y=1，∴P（1，1），即OM=1．

∴OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4，

∴G（0，4）．

综上所述，符合条件的点G有两个，其坐标为（0，4）或（0，9）．

练习册系列答案

练习与测试湖南教育出版社系列答案

学而优中考专题分类集训南京大学出版社系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

在函数中，自变量x的取值范围是　　．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

已知A、B两市相距260千米.甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计）.乙车到达M地后又经过20分钟修好甲车后原路返回，同时甲车以原速1.5倍的速度前往B市.如图是两车距A市的路程y (千米)与甲车行驶时间x (小时)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

（1）甲车提速后的速度是_______千米/小时，乙车的速度是_______千米/小时，点C的坐标为_____________.

（2）求乙车返回时y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

（3）求甲车到达B市时乙车已返回A市多长时间.