Question

【题目】如图，抛物线y=mx2﹣8mx+12m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E，联接AD，OD．

（1）求顶点D的坐标（用含m的式子表示）；

（2）若OD⊥AD，求该抛物线的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，设动点P在对称轴左侧该抛物线上，PA与对称轴交于点M，若△AME与△OAD相似，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）顶点D的坐标为（4，﹣4m）；（2）y=x2﹣4x+6；（3）点P的坐标（0，6）或（1，）．

【解析】分析：（1）把抛物线解析式配成顶点式得到D点坐标；

（2）先解方程mx2-8mx+12m=0得到A（6，0），B（2，0），再证明△DEO∽△AED，利用相似比得到4m：2=4：4m，然后求出m即可得到抛物线解析式；

（3）由（2）得D（4，-2），利用相似的传递性得到△AME与△EAD相似，由于∠ADO=∠AEM=90°，根据相似三角形的判定，当时，△AEM∽△DEA，即，解得EM=，当，则EM=DE=2，则EM=DE=2，分别确定对应M点的坐标，求出相应直线AM的解析式，然后把直线AM的解析式与抛物线解析式组成方程组，再解方程组可得到对应P点坐标．

详解：（1）∵y=m（x﹣4）2﹣4m，

∴顶点D的坐标为（4，﹣4m）；

（2）当y=0时，mx2﹣8mx+12m=0，解得x1=2，x2=6，

∴A（6，0），B（2，0），

∴OA=6，

∵抛物线的对称轴为x=4，

∴点E（4，0），

则OE=4，AE=2，DE=4m，

∵OD⊥AD，

∴∠ADO=90°，即∠ODE+∠ADE=90°，

而∠ODE+∠DOE=90°，

∴∠DOE=∠ADE，

∴△DEO∽△AED，

∴DE：AE=OE：DE，即4m：2=4：4m，解得m1=，m2=﹣（舍去），

∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+6；

（3）由（2）得D（4，﹣2），

∵△ADO与△AED相似，△AME与△OAD相似

∴△AME与△EAD相似，

∵∠ADO=∠AEM=90°，

∴当时，△AEM∽△DEA，即，解得EM=，

∴M（4，）

易得直线AM的解析式为y=﹣x+3，

解方程组得或，

∴此时P点坐标为（1，），

当，则EM=DE=2，

∴M（4，2），

易得直线AM的解析式为y=﹣x+6，

解方程组得或，

∴此时P点坐标为（0，6），

综上所述，点P的坐标（0，6）或（1，）．