Question

5．已知△ABC≌△DEF，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4．现将这两个全等的直角三角形按图①所示位置摆放，点A与点E重合，直角边AC与EF在同一直线上，如图②，现固定△ABC，将△DEF沿射线AC方向平行移动，运动过程中，直线DE与直线AB交于点M，点N是线段AC的中点，当点E运动到点N时停止运动．设AM=x．

（1）如图①，求点A与点E重合时两三角形重叠部分的面积；
（2）在△DEF运动过程中，△AMN能不能是以MN为腰的等腰三角形？若不能，请说明理由；若能，求出对应的x的值；
（3）在△DEF运动过程中，设两个三角形重叠部分面积为y，直接写出y与x的函数解析式及对应的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由两三角形全等以及边角关系，能够找出重叠部分的两条直角边，利用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）借助角的三角函数值，可将各边换成含x的代数式，再由边与边的关系即可求出结论；
（3）分成三部分，每部分图形样式不同，画出图形，数形结合，即可得出结论．

解答 解：（1）令AB与DF交点为P，如图1，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，AB=5，
∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=3，
∴FP=EF×tan∠BAC=3×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$，
△EFP=$\frac{1}{2}$×EF×FP=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{4}$=$\frac{27}{8}$．
故点A与点E重合时两三角形重叠部分的面积为$\frac{27}{8}$．
（2）假设存在，则分两种情况：
①当NM=AM时，过M作MQ⊥AC于Q点，如图2，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5（勾股定理），cos∠BAC=$\frac{4}{5}$，
∵NM=AM，MQ⊥AC，
∴AQ=$\frac{1}{2}$AN=AM×cos∠BAC=$\frac{4}{5}$x，
∵点N是线段AC的中点，
∴AN=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴有$\frac{4}{5}$x=1，解得x=$\frac{5}{4}$．
②当NM=AN时，过M作MQ₁⊥AC于Q₁点，如图3，

∵AM=x，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴MQ₁=$\frac{3}{5}$x，AQ₁=$\frac{4}{5}$x，
∵AN=2，
∴NQ₁=AQ₁-AN=$\frac{4}{5}$x-2，
在直角△NMQ₁中，由勾股定理，得${（\frac{3}{5}x）}^{2}$+${（\frac{4}{5}x-2）}^{2}$=2²，
即x²-$\frac{16}{5}$x=0，解得x=0（舍去）或x=$\frac{16}{5}$．
结合①②得知，两种情况下，点E都没有运动到N点，故在△DEF运动过程中，△AMN能是以MN为腰的等腰三角形，此时x的值为$\frac{5}{4}$或$\frac{16}{5}$．
（3）①当F点在线段AC上时（同图2），令DF与AB交于R点

此时有MQ=$\frac{3}{5}$x，AQ=$\frac{4}{5}$x，QE=$\frac{3}{4}$MQ=$\frac{9}{20}$x，AE=AQ-QE=$\frac{7}{20}$x，
∵F点在线段AC上，
∴0≤AE≤AC-EF，即0≤$\frac{7}{20}$x≤1，
∴0≤x≤$\frac{20}{7}$，
AF=AE+EF=$\frac{7}{20}$x+3，FR=$\frac{3}{4}$AF=$\frac{21}{80}$x+$\frac{9}{4}$，
CF=AC-AF=1-$\frac{7}{20}$x，
y=$\frac{1}{2}$×AB×BC-$\frac{1}{2}$×AE×MQ-$\frac{1}{2}$×（FR+BC）×CF=$\frac{27}{8}$+$\frac{63x}{80}$-$\frac{147{x}^{2}}{3200}$（0≤x≤$\frac{20}{7}$）．
②当F点在线段AC延长线上，且M点在线段AB上，（同图3）此时$\frac{20}{7}$＜x≤5，
MQ₁=$\frac{3}{5}$x，AQ₁=$\frac{4}{5}$x，CQ₁=AC-AQ₁=4-$\frac{4}{5}$x，EQ₁=$\frac{3}{4}$MQ₁=$\frac{9}{20}$x，
y=$\frac{1}{2}$•EQ₁•MQ₁+$\frac{1}{2}$•（MQ₁+BC）•CQ₁=6-$\frac{69}{200}$•x²（$\frac{20}{7}$＜x≤5）．
③当M点在线段AB延长线上，且E点不超过N点，如图4，

过M作MS⊥AC交AC延长线于S点，令DE与BC交点为T点，
MS=$\frac{3}{5}$x，SA=$\frac{4}{5}$x，SE=$\frac{3}{4}$MS=$\frac{9}{20}$x，AE=SA-SE=$\frac{7}{20}$x，CE=AC-AE=4-$\frac{7}{20}$x，CT=$\frac{4}{3}$CE=$\frac{16}{3}$-$\frac{7}{15}$x，
当N、E重合时，有AE=AN=2，即$\frac{7}{20}$x=2，解得x=$\frac{40}{7}$，
y=$\frac{1}{2}$•CE•CT=$\frac{32}{3}$-$\frac{28}{15}$x+$\frac{49}{600}$x²（5＜x≤$\frac{40}{7}$）．
综合①②③得知y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{27}{8}+\frac{63}{80}x-\frac{147}{3200}{x}^{2}（0≤x≤\frac{20}{7}）}\\{6-\frac{69}{200}{x}^{2}（\frac{20}{7}＜x≤5）}\\{\frac{32}{3}-\frac{28}{15}x+\frac{49}{600}{x}^{2}（5＜x≤\frac{40}{7}）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了三角形的面积、三角函数以及勾股定理等知识，解题的关键是画出图形，利用数形结合即可方便快速的解决问题．