Question

12．如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P点为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP²，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°，求证：∠APB是∠MON的智慧角；
（2）如图1，已知∠MON=α，（0°＜α＜90°），OP=2，若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）由角平分线求出∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠MON=45°，再证出∠OAP=∠OPB，证明△AOP∽△POB，得出对应边成比例$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OP}{OB}$，得出OP²=OA•OB，即可得出结论；
（2）由∠APB是∠MON的智慧角，得出 $\frac{OA}{OP}$=$\frac{OP}{OB}$，证出△AOP∽△POB，得出对应角相等∠OAP=∠OPB，即可得出∠APB=180°-$\frac{1}{2}$α；过点A作AH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•AH，即可得出S_△AOB=2sinα．

解答 （1）证明：∵∠MON=90°，P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠MON=45°，
∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，
∴∠OAP+∠APO=135°，
∵∠APB=135°，
∴∠APO+∠OPB=135°，
∴∠OAP=∠OPB，
∴△AOP∽△POB，
∴$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OP}{OB}$，
∴OP²=OA•OB，
∴∠APB是∠MON的智慧角；

（2）解：∵∠APB是∠MON的智慧角，
∴OA•OB=OP²，
∴$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OP}{OB}$，
∵P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$α，
∴△AOP∽△POB，
∴∠OAP=∠OPB，
∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°-$\frac{1}{2}$α，
即∠APB=180°-$\frac{1}{2}$α；
过点A作AH⊥OB于H，连接AB；如图1所示：
则S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•AH=$\frac{1}{2}$OB•OAsinα=$\frac{1}{2}$OP²•sinα，
∵OP=2，
∴S_△AOB=2sinα．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、新定义以及运用、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强．